Шпоры ТЕОРИЯ (new integral)

Посмотреть архив целиком

1 Определение двойного и тройного интеграла.  Рассматривается прямой цилиндр, основанием которого является замкнутая область ,  ограниченный сверху  поверхностью .  Основание D разбивается на частичные области   таким образом, что , а пересечениями могут быть только их границы (рис.1). В каждой частичной области   выбирается произвольная т. . Рассматривается интегральная сумма для функции f (x,y)  по области  D:

   площадь частичной области  .

Определение. Пусть  − диаметр области  и Если   существует конечный предел интегральных сумм при , не зависящий от способа разбиения и выбора точек  , то этот предел называется двойным интегралом от функции  f (x,y) по области D, а сама функция − интегрируемой по этой области:

                 

 Определение.   Рассматривается функция  f (x,y,z) , определенная в некоторой ограниченной связной области Т.  Область  Т  разбивается на  n  частичных областей     и в каждой из них выбирается произвольная точка  Как и в случае двойного интеграла обозначим максимальный диаметр частичных областей буквой  d  и перейдем к пределу при  в интегральной сумме.Если этот предел существует и конечен, то он называется тройным интегралом по области  Т, а сама функция  f (x, y, z)  интегрируемой в этой области    объем тела.

  Ясно, что объем тела , а масса тела с плотностью μ.













2 Геометрический смысл двойного и тройного интеграла

Отсюда следует геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл   от неотрицательной, непрерывной в замкнутой области  функции  равен объему цилиндрического тела с основанием   в плоскости XOY, ограниченного сверху поверхностью

В частности, если  в области , то цилиндрическое тело представляет собой цилиндр с основанием  высоты . Его объем численно равен площади основания . Таким образом, мы получаем уже известную формулу для вычисления площади области  с помощью двойного интеграла  или, что то же, .

Смысл 3-го интеграла. Таким образом, объем тела V можно вычислять с помощью тройного интеграла по формуле















































3 Теоремы существования

(Основная теорема существования или достаточное условие интегрируемости) Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области  D , интегрируема по этой области.

   На самом деле, функция интегрируема при менее жестких ограничениях:

Теорема существования тройного интеграла (достаточное условие интегрируемости).

Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, интегрируема в этой области. 



















































4 Свойства кратных интегралов

Основные свойства двойных интегралов.

    Все основные свойства двойных интегралов, практически, совпадают со свойствами однократных (включая доказательства). Отсутствует только аналог следующего свойства однократного интеграла:

   

Перечислим эти свойства:

I Линейность.

II.  Аддитивность. Пусть область  D  разбита на две не имеющие общих внутренних точек области  D1  и  D2. В этом случае:

III.             Интегрирование неравенств. Пусть функции  интегрируемы по области  D  и  тогда

    Следствие: теорема об оценке интеграла.

      Пусть .

IV.              Интегрируемость модуля. Пусть функция  интегрируема на  D , тогда    интегрируем на  D , причем  

V.                 Теорема о среднем. Пусть функция  непрерывна в замкнутой области . Тогда найдется т.  такая, что



















Свойства тройных интегралов.

I.Линейность.

II. Аддитивность. Пусть область  Т  разбита на две не имеющие общих внутренних точек области  Т1  и  Т2 . В этом случае:

III. Интегрирование неравенств. Пусть функции  интегрируемы по области  Т  и  тогда

    Следствие: теорема об оценке интеграла.

      Пусть .

IV.Интегрируемость модуля. Пусть функция  интегрируема на  Т , тогда    интегрируем на  Т , причем  

V. Теорема о среднем. Пусть функция  непрерывна в замкнутой области . Тогда найдется т.  такая, что









5 Вычисление двойного и тройного интеграла в декартовых системах координат

Двойной Пусть область D - правильная в отношении оси Ох (рис. 2.6.)

Тогда в этом случае область D может быть задана одной системой неравенств:

Если существует двойной интеграл



(это возможно, например, если
f(x; y) непрерывна на D), то его можно вычислить через повторный кратный интеграл так:

При этом внутренний интеграл по
у находится при постоянном х.

Тройной. Рассмотрим случай, когда область интегрирования U является элементарной относительно оси Oz, т.е. любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области U не более, чем в двух точках. Пусть область U ограничена снизу поверхностью z = z1(x,y), а сверху - поверхностью z = z2(x,y) (рисунок 1). Проекцией тела U на плоскость Oxy является область D (рисунок 2). Будем предполагать, что функции z1(x,y) и z2(x,y) непрерывны в области D.

Тогда для любой непрерывной в области U функции f (x,y,z) можно записать соотношение































6 Теорема о замене переменной в двойном интеграле

Ограничимся геометрическим обоснованием формулы замены переменных в двойном интеграле. Вспомним сначала геометрический смысл замены переменной в однократном интеграле:

                     На плоскости  XOY  (т.е. в исходном интеграле)  величина  dx – элемент длины основания ступенчатой фигуры. На плоскости TOX  при разбиении отрезка    элементу длины dx соответствует величина .                   

   Рассмотрим теперь двойной интеграл по области D и перейдем на плоскость , сделав невырожденное преобразование  

 (указанное преобразование переводит область  в область D).

Произведение  dxdy  представляет собой элемент площади основания цилиндра – прямоугольник  в

области  D. В области     ему соответствует криволинейный ‘параллелограмм’, площадь которого

(с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости) равна площади 

параллелограмма, построенного на векторах, касательных к его сторонам (рис.5). В свою очередь, этими касательными являются векторы , а площадь  параллелограмма – модулю их векторного произведения (см. курс аналитической геометрии) :

; (якобиан преобразования). Таким образом, окончательно имеем:

формула замены переменных в двойных интегралах.



7 вычисление двойного интеграла в полярных координатах

  Одним из наиболее важных частных случаев является полярная система координат:

                 

                                





















































8 Замена переменных в тройном интеграле

В тройных интегралах замена переменных      проводится по тем же правилам, что и в двойных интегралах. Пусть это преобразование переводит область  пространства   UVW

в область T  пространства  XYZ  . Формула замены переменных имеет вид:

             

 (J − якобиан преобразования)















































9 вычисление двойного и тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

При замене переменных в пространстве наиболее часто используются две системы координат.

I.                   Цилиндрические координаты.

На плоскости  XOY  вводятся полярные координаты, а третья координата остается без изменения:                 

                 



II.                Сферические координаты.

 













































КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1 определения и свойства (с выводом) криволинейного интеграла 1-го рода, его геометрический и физический смысл

Пусть в пространстве задана спрямляемая кривая Г={x=x(t),y=y(t),z=z(t); α ≤ t ≤ β} или в векторной форме  Г: r(t)=(x(t),y(t),z(t)); α ≤ t ≤ β. Кривая называется ориентированной, если т.А(х(α)(α),z(α)) считается начальной, а  В(х(β),у(β),z(β)) – конечной. ( т.е. на кривой задано положительное направление движения). В дальнейшем, по умолчанию, будем считать, что кривая Г -  спрямляемая

и ориентированная. Т.е. параметр  t  всегда меняется от меньшего значения к большему (dt > 0).

Обозначим буквой s длину дуги кривой. Тогда   элемент длины дуги равен .

( на плоскости:  или, в случае явного задания, )  

 Пусть функция f (x,y,z) определена на кривой Г.

Определение. Криволинейным интегралом 1-го рода называется интеграл

     

Приложения.

1) − длина кривой.

2)  − масса кривой с линейной плотностью μ(x,y,z).



























2 Вычисление интеграла 1 рода

Выберем на кривой L направление от начальной точки А и отметим, что положение точки М на кривой определяется длиной дуги АМ = s. Тогда кривую L можно задать параметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s), где Функция f(x,y,z) становится при этом сложной функцией одной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогда интегральная сумма где - координата точки Mi, является обычной интегральной суммой для определен-ного интеграла Следовательно  =                

Если же кривая L задана в параметрической форме    x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t),       t0 ≤ t ≤ T,  

то, применяя в интеграле (10.3) формулу замены переменной и учитывая, что дифференциал дуги 

получим:           

































3 определения и свойства (с выводом) криволинейного интеграла 2-го рода, его геометрический и физический смысл

Введем еще одно обозначение: пусть l – единичный вектор касательной к кривой Г в т.(x,y,z).  

Как известно, l = dr/ds . Следовательноl·ds = dr = (dx,dy,dz).Так как  l орт, то l=(cosα, cosβ, cosγ).  

Рассмотрим теперь векторное поле a = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) ; (x,y,z) Г.

Определение.  Криволинейным интегралом 2-го рода от векторного поля  а  по кривой Г

  называется интеграл следующего вида:  .

Таким образом, формально, криволинейные интегралы 2-го рода сводятся к криволинейным интегралам 1-го рода специального вида. Тем самым, условия существования и общие свойства

интегралов 2-рода совпадают соответствующими условиями и свойствами интегралов 1-го рода.

Физический смысл – работа силы  а  по перемещению материальной точки вдоль кривой  Г.

Из представлений вектора  l следует различная форма записи криволинейных интегралов 2-го рода:

                     

                        























4 Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода

Вычисление криволинейных интегралов второго рода производится путем преобразования их к определенным интегралам по формулам:

 

В случае, если АВ – плоская кривая, заданная уравнением y = f(x), то  















































5 Формула Грина для односвязных и многосвязных областей

Определение связной области было дано раньше (гл.I,§1). Дополним это понятие:

 Связная область называется односвязной, если ее граница состоит из одной кривой

 и многосвязной в противном случае (рис.2;а,б). 

  

В многосвязной   области делаются разрезы  как на рис.2,б. Интегралы по разрезу взаимно                 сокращаются. Таким образом, формула  Грина применима и к многосвязным областям,    например к кольцам. При этом обход по границе    всегда происходит в положительном  направлении: на рис.2,б:внешний контур −      против часовой стрелки, внутренний – по часовой.   Пусть векторное поле а = (Р(х,у),Q(x,y)) непрерывно в и дифференцируемо в D,  а  Г -  положительно ориентированная замкнутая кривая. В этом случае верна формула:                     

                             .  (формула Грина)

{ Пусть область D = MNKL правильная по у (рис.1).

 

Рассмотрим

 

 

Интегралы по NM  и  LK  равны нулю.

Аналогично: . Складывая эти результаты, получаем формулу Грина.

Разбивая исходную область на сумму правильных, получим окончательный результат.}                   

 №6 Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Теорема. Криволинейные интегралы 1-го рода не зависят от направления пути интегрирования.

{ Введем обозначение: f (x(t),y(t),z(t))=f *(t). Пусть т.(x,y,z) перемещается от  т.В к т.А. Так как t может меняться  только от α  к  β, то получаем интеграл :

 

т.е. получаем  исходный криволинейный интеграл 1-го рода}

Теорема. При изменении направления пути интегрирования криволинейные интегралы 2-го рода

меняют знак.

{Доказательство теоремы следует из того, что при изменении направления пути интегрирования вектор касательной l  меняет направление на противоположное, а, значит, подынтегральная функция, а с ней и сам интеграл, меняют свой знак}

Особый интерес представляет собой случай, когда  криволинейный интеграл 2-го рода не зависит от

  пути интегрирования (достаточно вспомнить его физический смысл).  

Теорема 1. Криволинейный интеграл 2-го рода не зависит от пути интегрирования  тогда и только

тогда, когда  соответствующий интеграл по замкнутому контуру равен нулю.

{ Необходимость: (Г1 и Г2 – 2 различные дуги, соединяющие точки А и В. Рассмотрим

замкнутую кривую АВА : .

Достаточность: . Обозначим Г1 и Г2  2 кривые, соединяющие 2 произвольные точки контура Г.

. Теорема доказана. }







Определение  потенциального векторного поля  а = (P,Q,R), как градиента некоторого скалярного поля (его потенциала)  u(x,y,z), было дано в §1 настоящей главы. Сделаем теперь два замечания относительно этих понятий:

 1. Так как координаты потенциального векторного поля  аP, Q и R равны частным производным функции  u  по x,y и  z соответственно, то дифференциальная форма  Pdx+Qdy+Rdz  является полным дифференциалом этой функции: du = Pdx+Qdy+Rdz.

 2. Потенциал векторного поля определен с точностью до произвольной постоянной. 

  Из курса  ФНП  известно, что в плоском случае дифференциальная форма равна полному дифференциалу тогда и только тогда, когда   .

( В пространстве имеют место соотношения: что будет доказано ниже.)                 







































ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1 1-го рода: определение, свойства, вычисление и применение

  Пусть дано скалярное поле u = f (x,y,z), (x,y,z) S = {z=z(x,y); (x,y) D}

Определение.  Поверхностным интегралом 1-го рода от функции f (x,y,z) по поверхности S

  называется  интеграл

В простейшем случае он равен:  =  . В более  общем –

                        = .

Теорема существования и все свойства криволинейных интегралов 1-го рода  целиком переносятся

на поверхностные интегралы 1-го рода (гл.II, §2). Последняя теорема имеет формулировку:

Теорема. Поверхностные интегралы 1-го рода не зависят от ориентации поверхности:

                   

 Основные приложения – масса поверхности с поверхностной плотностью f (x,y,z) и все величины

с ней связанные: центр масс, моменты и т.д. При f1 получим площадь поверхности.

 



















2 2-го рода: определение, свойства, вычисление и применение

Пусть  на поверхности заданы векторное поле а и единичная нормаль n = (cosα, cosβ, cosγ).

Определение. Поверхностным интегралом 2-го рода по ориентированной поверхности S+ называется

 интеграл

Подставляя координаты векторов  a  и  n , получим   

Величина  cosαּdS  равна элементу  площади  проекции  поверхности на плоскость YOZ, т.е. dydz.

Аналогичные равенства имеют место для двух других слагаемых. Тем самым, представления

поверхностных интегралов 2-го рода  имеют  вид:

              =           

                =

где  SYOZ , SXOZ , SXOY  - проекции ориентированной  поверхности  S  на координатные плоскости.

 Так как поверхностный интеграл 2-го рода сводится к поверхностному интегралу 1-го рода ,то общие свойства и теорема существования сохраняются. Как и в случае криволинейных интегралов

 2-го рода имеет место

Теорема. При изменении ориентации поверхности S, знак интеграла меняется на противоположный:

                                                     .

 Определение. Поверхностные интегралы 2-го рода называют потоком векторного поля через ориентированную поверхность.



ТЕОРИЯ ПОЛЯ

1 Скалярные и векторные поля

Скалярное поле определяется скалярной функцией точки где - точка пространства, - ее радиус-вектор.

   Векторное поле определяется векторной функцией точки

где - точка пространства, - ее радиус-вектор.













































2 Поток векторного поля

 Поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу по области

 ограниченной этой поверхностью от дивергенции векторного поля.

Поверхностный интеграл 1-го рода

где An – скалярное произведение соответствующих векторов, а Ап – проекция вектора А на направление нормали, называется потоком векторного поля А(М) через выбранную сторону поверхности S.















































3 Формула Гауса – Остроградского с выводом

Рассмотрим  векторное поле а, определенное в области G трехмерного пространства.  .

  Теорема (формула) Гаусса – Остроградского. Пусть поле а непрерывно вместе с частными производными в области G, ограниченной кусочно-гладкой замкнутой поверхностью S, ориентированной по внешней нормали.  В этом случае имеет место формула (ф. Г. – О.):

                                   

{ Пусть Gz правильная по z область, SXOY      ее проекция  на XOY; z1(x,y), z2(x,y) и  SB  нижняя, верхняя

и боковая границы  области  Gz . Рассмотрим 

(Знак перед интегралом по z1 изменился из-за нормали, а интеграл по SB равен нулю)

Для областей, правильных по  x  и по  y  получим аналогичные формулы для  P и  Q.

Если область G  может быть разбита на конечное множество областей, правильных  по  x , y  и  z,

то получаем формулу Гаусса – Остроградского.}

























4 Дивергенция векторного поля и ее свойства

Определение. Дивергенцией векторного поля  а  называется скалярное поле  

    Теорему Гаусса – Остроградского можно теперь сформулировать следующим образом:

 Поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу по области

 ограниченной этой поверхностью от дивергенции векторного поля.

   Из теоремы Гаусса – Остроградского следует физический смысл дивергенции.

 Пусть Uε(M) – ε- окрестность т.М. По ф. Г – О. : (по т. о среднем) . Отсюда :  плотность потока векторного поля. Знак дивергенции в некоторой области определяется наличием в ней источников (diva > 0 ) или

стоков ( diva < 0 ).

































5 вывод формулы для вычисления дивергенции в декартовой системе координат

Найдем выражение для дивергенции в точке P(x,y,z) в декартовой системе координат. Выберем область, оружающую точку P в виде ящика со сторонами Dx, Dy, Dz. Найдем суммарный поток Ф(x) вектора a через две противоположные грани, перпендикулярные оси x:

где ax1и ax2 средние значения проекций ax на гранях, к которым проведены соответствующие нормали.

Приближенно можно записать, что



Тогда

где DV - объем ящика.

По аналогии можно записать и компоненты потока через пары противоположных граней, перпендикулярных осям y и z. Тогда полный поток вектора a через всю поверхность ящика будет

Устремляя объем ящика к нулю, путем стягивания его к точке P перейдем от приближенного равенства к точному и получим, согласно определению дивергенции (2.13), что в декартовых координатах




















6 Циркуляция векторного поля

Криволинейные интегралы 2-го рода по замкнутому контуру называют циркуляцией векторного поля по замкнутому контуру. где  — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур Г ,  — бесконечно малое приращение радиус-вектора L вдоль контура.























































7 Формула Стокса

Пусть в пространстве задано непрерывно дифференцируемое векторное поле  а  и кусочно-гладкая

ориентированная поверхность S с границей Г, ориентированной по S. В этом случае верна формула:

                          (формула Стокса).

{ Доказательство этого утверждения аналогично доказательствам теорем Грина и Гаусса – Остроградского и здесь не приводится }

 Таким образом, теорема Стокса утверждает, что поток ротора векторного поля через

. ориентированную поверхность равен циркуляции этого поля по границе поверхности













































8 ротор векторного поля и его свойства

Ротором  векторного поля  а  называется векторное поле равное:

                                

Свойства ротора















































 №9 Вычисление ротора в декартовой системе координат

Найдем компоненты ротора в декартовой системе координат, воспользовавшись формулой Стокса. Для этого выберем сначала координатную плоскость y0z с нормальным вектором   , затем x0z,     , затем x0y,   . Применяя каждый раз теорему о среднем для интеграла, получим:   





















































10 Соленоидальное векторное поле и его свойста

  Определение. Векторное поле а называется  соленоидальным  в области G , если в этой области

  поток поля через любую замкнутую поверхность области равен нулю.

  Теорема 2. Векторное поле соленоидально тогда и только тогда, когда его дивергенция равна нулю.

 {1. Поле соленоидально т.е. поток равен нулю  

   2. diva = 0 . Из теоремы Г−О сразу следует равенство нулю потока через замкнутую поверхность,

   т.е. соленоидальность поля.}

Таким образом, соленоидальность поля внутри области характеризуется отсутствием как источников, так и стоков в этой области.









































11 Потенциальное векторное поле

Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике — векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве является равенство нулю ротора поля. Однако это условие не является достаточным (например, в многосвязной области у безвихревого поля может не существовать скалярный потенциал).























































12 Оператор Гамильтона

Перечисленные операторы легко выражаются через символический вектор  ( читается «набла»):

   и  называется оператором Гамильтона:

          



















13 Вычисление для скалярного и векторного полей div и rot

- определение дивергенции векторного поля.

- определение ротора векторного поля

- определение оператора “набла” или оператора Гамильтона.

- выражение градиента скалярного поля и через оператор Гамильтона.

- выражение дивергенции векторного поля через оператор Гамильтона.

- выражение ротора векторного поля через оператор Гамильтона.



























14 Определение гармонического поля и его св-ва

Определение. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими.

Пример.  u = x2y2 +z  − гармоническая




Случайные файлы

Файл
99392.rtf
143067.rtf
7514-1.rtf
162381.rtf
85896.rtf