16.2. Тройной интеграл.


16.2.1. Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла. Пусть в пространстве Oxyz задана ограниченная замкнутая область (объём) V, и пусть на области V определена функция f(x, y, z).

Разобьём область V произвольным образом на n подобластей V1, V2, V3, …, Vn, (не имеющих общих внутренних точек). Символом v(Vi) будем обозначать объём области Vi; символом d обозначим наибольший из диаметров областей Vi: .

В каждой из подобластей Vi (i = 1,2,…,n) выберем произвольную точку Pi = (xi, yi, zi), вычислим в этой точке значение функции f(Pi ) = f (xi, yi, zi), и составим интегральную сумму .

Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения области V на подобласти Vi, ни от выбора точек Pi, то функция f(x, y, z) называется интегрируемой по области V, а значение этого предела называется тройным интегралом от функции f(x, y, z)по области V и обозначается .

Если расписать значение f(P) через координаты точки P, и представить dv как dv = dx dy dz, получим другое обозначение тройного интеграла: . Итак, кратко, .

Теорема существования тройного интеграла. Если подынтегральная функция f(x, y, z) непрерывна на области V, то она интегрируема по этой области.

  1. 16.2.2. Свойства тройного интеграла по смыслу и доказательству полностью аналогичны свойствам определённого и двойного интегралов.

  2. 16.2.2.1. Линейность. Если функции f(x, y, z), g(x, y, z) интегрируемы по области V, то их линейная комбинация тоже интегрируема по V, и .

  3. 16.2.2.2. Аддитивность. Если область V является объединением двух областей V1 и V2, не имеющих общих внутренних точек, то .

16.2.2.3. Интеграл от единичной функции по области V равен объёму этой области: .

16.2.2.4 Интегрирование неравенств. Если в любой точке выполняется неравенство , и функции f(P), g(P) интегрируемы по области V, то .

        1. Теоремы об оценке интеграла.

16.2.2.4.1. Если функция f(P) интегрируема по области V, и для выполняется , то .

16.2.2.4.2. Если функция f(P) интегрируема по областиV, то .

  1. 1
    6.2.2.5. Теорема о среднем.
    Если функция f(P) непрерывна на области V, то существует точка , такая что .

  2. 16.2.3. Вычисление тройного интеграла. Теорема о переходе от тройного интеграла к повторному. Будем называть ограниченную замкнутую область V простой (правильной), если выполняются два условия : проекция V на какую-либо координатную плоскость, например, на плоскость Оху - простая область D, и любая прямая, перпендикулярная этой плоскости и проходящая через внутреннюю точку V, пересекает границу V в двух точках. Такую область можно описать следующим образом: (поверхность образована множеством нижних точек пересечения прямой, параллельной оси Oz, с границей V; поверхность - множеством верхних точек пересечения).

  3. Теорема. Если V - простая область с кусочно-гладкой границей, f(P) - непрерывная функция, то .

  4. Доказать эту теорему можно так, как мы доказали теорему о переходе от двойного интеграла к повторному: установить, что для повторного интеграла в правой части формулы имеют место все свойства интеграла, разбить область V на подобласти Vi (i = 1,2,…,n), пользуюсь свойствами аддитивности и теоремой о среднем, представить повторный интеграл как интегральную сумму для тройного и перейти к пределу при .

Если расписать двойной интеграл по простой области D в виде повторного, получим ещё более детализированную формулу для вычисления тройного интеграла: .

Можно также доказать, что тройной интеграл можно представить в виде повторного с другим порядком интегрирования. Обозначим (т.е. минимальное и максимальное значения ординаты для точек области V), - плоскую область, получающуюся при сечении V плоскостью z = const. Тогда . Естественно, для конкретной задачи может оказаться предпочтительней проектировать V не на плоскость Оху, а на другую координатную плоскость.


16.2.4. Примеры. 1.

Проекция области V на плоскость Оху - треугольник , поэтому

.


2.
Здесь V - внутренность конуса, D - проекция круга, получающегося при сечении этого конуса плоскостью z = h на Оху, т.е. круг, ограниченный кривой , поэтому