16. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы.

16.1. Двойной интеграл.


16.1.1. Определение двойного интеграла. Теорема существования двойного интеграла. Пусть на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и пусть на области D определена функция f(x, y).

Разобьём область D произвольным образом на n подобластей D1, D2, D3, …, Dn, (не имеющих общих внутренних точек). Символом s(Di) будем обозначать площадь области Di; символом diam(D)здесь и дальше будет обозначаться наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащими области D:

;

символом d обозначим наибольший из диаметров областей Di: .

В каждой из подобластей Di (i = 1,2, …, n) выберем произвольную точку Pi = (xi, yi), вычислим в этой точке значение функции f(Pi ) = f (xi, yi), и составим интегральную сумму .

Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения области D на подобласти Di, ни от выбора точек Pi, то функция f(x, y) называется интегрируемой по области D, а значение этого предела называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается .

Если расписать значение f(P) через координаты точки P, и представить ds как ds = dx dy, получим другое обозначение двойного интеграла: . Итак, кратко, .

Теорема существования двойного интеграла. Если подынтегральная функция f(x, y) непрерывна на области D, то она интегрируема по этой области.

16.1.2. Геометрический смысл двойного интеграла. Геометрический смысл каждого слагаемого интегральной суммы: если , то - объём прямого цилиндра с основанием Di высоты f(Pi); вся интегральная сумма - сумма объёмов таких цилиндров, т.е. объём некоторого ступенчатого тела (высота ступеньки, расположенной над подобластью Di, равна f(Pi)). Когда , это ступенчатое тело становится всё ближе к изображенному на рисунке телу, ограниченному снизу областью D, сверху - поверхностью z = f(x, y), с цилиндрической боковой поверхностью, направляющей которой является граница области D, а образующие параллельны оси Oz. Двойной интеграл равен объёму этого тела.

  1. 16.1.3. Свойства двойного интеграла.

  2. 16.1.3.1. Линейность. Если функции f(x, y), g(x, y) интегрируемы по области D, то их линейная комбинация тоже интегрируема по области D, и .

Док-во. Для интегральных сумм справедливо равенство . Переходя к пределу при и пользуясь свойствами пределов, рассмотренными в разделе 4.4.6. Арифметические действия с пределами (конкретно, свойствами 4.4.10.1 и 4.4.10.2), получим требуемое равенство.

16.1.3.2. А
ддитивность.
Если область D является объединением двух областей D1 и D2, не имеющих общих внутренних точек, то .

Док-во. Пусть область D1 разбита на подобласти D1,1, D1,2, …, D1, n1; область D2 разбита на подобласти D2,1, D2,2, …, D2, n2. Тогда объединение этих разбиений даст разбиение области D: на n1 + n2 подобластей. Интегральная сумма по области D равна сумме сумм по областям D1 и D2: . Как и в предыдущем случае, переходя к пределу при , получим требуемое равенство.

        1. Интеграл от единичной функции по области D равен площади этой области: .

Док-во: Для любого разбиения , т.е. не зависит ни от разбиения, ни от выбора точек Pi. Предел постоянной равен этой постоянной, поэтому .

16.1.3.4. Интегрирование неравенств. Если в любой точке выполняется неравенство , и функции f(P), g(P) интегрируемы по области D, то .

Док-во. В любой точке выполняется неравенство , поэтому . По теореме о переходе к пределу в неравенствах отсюда следует требуемое утверждение.

        1. Теоремы об оценке интеграла.

16.1.3.5.1. Если функция f(P) интегрируема по области D, и для выполняется , то .

Док-во.