16.3.3. Криволинейный интеграл второго рода (по координатам).

16.3.3.1. Определение криволинейного интеграла второго рода. Пусть в пространстве Oxyz дана кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция P(x, y, z). Разобьём кривую точками A0(x0, y0, z0) = A, A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2), …, Ai(xi yi, zi), …, An(xn yn, zn) = B на n частей, на каждой из дуг выберем произвольную точку Mi(xi yi, zi), найдём P(Mi) = Pi(xi yi, zi) и проекцию дуги на ось Ох, и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения кривой на дуги (i = 1, 2, …, n), ни от выбора точек Mi, то функция Р(x,y,z) называется интегрируемой по кривой L, а значение этого предела называется криволинейным интегралом второго рода, или криволинейным интегралом по координате х от функции Р(x,y,z) по кривой L, и обозначается (или ).

Теорема существования. Если функция Р(x,y,z) непрерывна на кривой L, то она интегрируема по этой кривой.

Если на кривой L, вместе с функцией Р(x,y,z), заданы функции Q(x,y,z) и R(x,y,z), то, аналогично интегралу , определяются интегралы и. В приложениях рассматривается сумма этих интегралов, которая обозначается и также называется криволинейным интегралом второго рода. Если кривая, по которой ведётся интегрирование, является контуром (т.е. замкнута), то, как и для криволинейного интеграла по длине дуги, в качестве начальной (и совпадающей с ней конечной) точки можно взять любую точку кривой.

16.3.3.2. Свойства криволинейного интеграла второго рода. Для этого интеграла существенны следующие свойства:

16.3.3.2.1. Линейность. Если функции интегрируемы по кривой (каждая по своей координате, то по этой кривой интегрируемы функции , и

16.3.3.2.2. Аддитивность. Если кривая разбита на две части и , не имеющие общих внутренних точек, то .

Доказательство этих свойств такое же, как и для других типов интегралов; воспроизвести их самостоятельно. Персональное свойство криволинейного интеграла по координатам:

16.3.3.2.3. Изменение знака криволинейного интеграла второго рода при изменении направления прохождения кривой: .

Доказательство очевидно: при изменении направления прохождения кривой меняет знак каждая проекция , следовательно, меняет знак интегральная сумма, следовательно, меняет знак предел последовательности интегральных сумм.

16.3.3.3. Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями , где - непрерывно дифференцируемые функции, и пусть точкам , которые задают разбиение кривой, соответствуют значения параметра , т.е. . Тогда по теореме Лагранжа существуют такие точки , что . Выберем точки , получающиеся при этих значениях параметра: . Тогда интегральная сумма для криволинейного интеграла будет равна интегральной сумме для определенного интеграла . Так как , то, переходя к пределу при в равенстве , получим

. Аналогично доказываются формулы для интегралов по другим координатам. Окончательно

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла второго рода ни чем не отличается от вычисления интеграла первого и сводится к интегрированию по параметру. Направление интегрирования определяется условиями задачи.

Примеры. 1. Найти , где - виток винтовой линии x=acos t, y=asin t, z=at, 0 t 2.

Решение:


Пусть плоская кривая задана в декартовой системе координат уравнением y=y(x), A(a,y(a)), B(b,y(b)). Тогда

.


Пример 2. Найти по кривой