16.3. Криволинейные интегралы.

1
6.3.1. Введение.
Рассмотрим следующую физическую задачу. Пусть в пространстве Oxyz вдоль кривой перемещается материальная точка под воздействием силы ; при этом сила может меняться от точки к точке. Требуется найти работу, которая совершается силой.

В случае, когда в качестве берётся - прямолинейный отрезок (левая часть рисунка), и - постоянная сила, работа есть скалярное произведение силы на вектор перемещения точки: . Это выражение можно трактовать двумя способами.

  1. По определению скалярного произведения . Здесь, - угол между . Обозначим , тогда .

  2. Если расписать скалярное произведение в координатной форме, то .

Пусть теперь - произвольная гладкая ограниченная кривая, и сила может меняться от точки к точке (правая часть рисунка). Чтобы свести этот случай к предыдущему, разобьём кривую точками на частей, на каждой из дуг выберем произвольную точку , и, считая, что дуга - прямолинейный отрезок - вектор длины , и сила вдоль этого отрезка постоянна и равна , получим, что работа вдоль этой дуги близка к (). Как мы видели, это выражение можно представить и в виде

(где - угол между и ), и в виде . Суммируя эти выражения по всем дугам, получим выражения двух интегральных сумм: и . Переход к пределу в этих интегральных суммах при приведёт к двум криволинейным интегралам: и . Первый из этих интегралов называется криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги; второй - криволинейным интегралом второго рода, или криволинейным интегралом по координатам. Несмотря на то, что они описывают одну и ту же физическую величину, с математической точки зрения это разные объекты. Они имеют разные определения и разные свойства. В частности, криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления прохождения кривой: (так как угол между силой и кривой входит в подынтегральную функцию в явном виде), в то время как криволинейный интеграл второго рода меняет знак при изменении направления прохождения кривой: (вектор , координаты которого входят в интегральную сумму, меняется на вектор ).

Перейдём к формальным определениям.

16.3.2. Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги).

16.3.2.1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть в пространстве переменных x,y,z задана кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция f(x,y,z). Разобьём кривую точками на частей, на каждой из дуг выберем произвольную точку , найдём