Все по поверхностным и криволинейным интегралам (Криволинейный интеграл второго рода1)

Посмотреть архив целиком

16.3.2. Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги).

16.3.2.1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть в пространстве переменных x,y,z задана кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция f(x,y,z). Разобьём кривую точками на частей, на каждой из дуг выберем произвольную точку , найдём и длину дуги , и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения кривой на дуги , ни от выбора точек , то функция f(x,y,z) называется интегрируемой по кривой , а значение этого предела называется криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги от функции f(x,y,z) по кривой , и обозначается (или ).


Теорема существования. Если функция f(x,y,z) непрерывна на кусочно-гладкой кривой , то она интегрируема по этой кривой.

Случай замкнутой кривой. В этом случае в качестве начальной и конечной точки можно взять произвольную точку кривой. Замкнутую кривую в дальнейшем будем называть контуром и обозначать буквой С. То, что кривая, по которой вычисляется интеграл, замкнута, принято обозначать кружочком на знаке интеграла: .

16.3.2.2. Свойства криволинейного интеграла первого рода. Для этого интеграла имеют место все шесть свойств, справедливых для определённого, двойного, тройного интеграла, от линейности до теоремы о среднем. Сформулировать и доказать их самостоятельно. Однако для этого интеграла справедливо и седьмое, персональное свойство:

Независимость криволинейного интеграла первого рода от направления прохождения кривой: .

Доказательство. Интегральные суммы для интегралов, стоящих в правой и левой частях этого равенства, при любом разбиении кривой и выборе точек совпадают (всегда длина дуги ), поэтому равны их пределы при .

16.3.2.3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями , где - непрерывно дифференцируемые функции, и пусть точкам , которые задают разбиение кривой, соответствуют значения параметра , т.е. . Тогда (см. раздел 13.3. Вычисление длин кривых) . По теореме о среднем, существует точка такая, что . Выберем точки , получающиеся при этом значении параметра: . Тогда интегральная сумма для криволинейного интеграла будет равна интегральной сумме для определенного интеграла . Так как , то, переходя к пределу при в равенстве , получим

.

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определённого интеграла по параметру. Если кривая задана параметрически, то этот переход не вызывает трудностей; если дано качественное словесное описание кривой, то основной трудностью может быть введение параметра на кривой. Ещё раз подчеркнём, что интегрирование всегда ведётся в сторону возрастания параметра.

Примеры. 1. Вычислить , где - один виток спирали

Здесь переход к определённому интегралу проблем не вызывает: находим , и .

2. Вычислить тот же интеграл по отрезку прямой, соединяющей точки