Лекции Гордина (Теория поля)

Посмотреть архив целиком

17. Теория поля.

17.1. Скалярное поле.

1
7.1.1. Скалярное поле, производная по направлению, градиент.
Все физические процессы, проходящие в любой области пространства, характеризуются определёнными значениями некоторых величин. Так, нагревание тела описывается изменением температуры в точках этого тела; загнивание экономического региона характеризуется количеством остановленных в нём предприятий и т.д. Если каждой точке М некоторой области V пространства соответствует значение некоторой скалярной величины u(M), то говорят, что в области V задано скалярное поле u(M). Поле называется стационарным, если оно не меняется во времени; мы будем изучать только стационарные поля.

Формально определение скалярного поля совпадает с определением функции u(M), заданной в области V; это верно и по существу, однако при изучении теории поля полезно иметь в виду, что функция u(M) описывает конкретную физическую реальность. Для изучения функциональной зависимости u(M) нам придётся ввести некоторую систему координат. Вид функции u(M) (её аналитическое выражение) меняется в зависимости от того, как введена координатная система (где расположено начало системы координат, куда направлены оси, каков масштаб измерения расстояний и т.д.), однако сущность, которую описывают эти разные выражения, одна и та же. Произвол в задании системы координат приводит к необходимости различать величины, не зависящие от конкретной системы (инвариантные относительно системы координат), и величины, принимающие разные значения в разных системах (неинвариантные величины). Основной инвариантной величиной является, конечно, само значение u(M) поля в точке М. Мы будем называть поле u(M) гладким, если функция u(M) имеет непрерывные частные производные . Значения этих производных в точке М зависят от системы координат, однако составленная с их помощью линейная комбинация базисных ортов системы образует градиент поля u(M) и инвариантна относительно системы координат. Вектор направлен в сторону роста значений поля u(M) по направлению наибольшей скорости роста; длина равна скорости роста в этом направлении. Инвариантна относительно системы координат производная поля в точке М по любому направлению , выходящему из этой точки, так как она характеризует скорость изменения поля в направлении . Формально производная по направлению определяется как , где в зависимости от того, имеют ли ось и вектор одинаковые или противоположные направления. Производная по направлению выражается через градиент формулой

,

где - орт направления , - направляющие косинусы этого направления.

В дальнейшем для обозначения градиента мы часто будем применять введённый Гамильтоном оператор ("набла"). Этот вектор-оператор определяется как . Если формальное произведение понимать как , то , т.е. произведение вектора набла на скаляр u(M) даёт значение градиента поля u в точке M.

Градиент поля имеет следующие дифференциальные свойства

  1. , или ;

  2. , или ;

  3. , или ;

  4. , или ,

которые легко доказываются применением обычных правил дифференцирования.

Для визуального изображения скалярных полей применяются поверхности и линии (в плоском случае) уровня. Поверхностью уровня скалярного поля u(M), соответствующей значению поля С, называется геометрическое место точек таких, что . Поверхности уровня, соответствующие разным значениям постоянной С, не могут иметь общих точек, поэтому область V, в которой задано поле, расслаивается на поверхности уровня; совокупность этих поверхностей, построенных для некоторого регулярного набора значений С, например, С=1, С=2, С=3 и т.д., даёт наглядное представление об изменении поля при переходе от одной точке к другой. Поле меняется быстрее там, где эти поверхности расположены гуще. Градиент поля в каждой точке Р0 ортогонален поверхности уровня, проходящей через эту точку, т.е. поверхности .

17.1.2. Частные случаи скалярных полей.

С
калярное поле называется
плоским, если существует такая плоскость П, что поле принимает одинаковые значения во всех точках прямой, перпендикулярной плоскости П. Другими словами, это поле устроено одинаково во всех плоскостях, параллельных плоскости П. Удачным выбором координатной системы в этом случае будет ввести её так, чтобы плоскость П была плоскостью Оху. Тогда ось Оz будет перпендикулярна П, и, по определению плоского поля, функция u(M) не должна зависеть от z, т.е. u(M) = u(х,у). Поверхности уровня этого поля - цилиндрические поверхности с образующими, перпендикулярными плоскости П; след этих поверхностей в плоскости П даст линии уровня функции u(х,у).

Скалярное поле называется цилиндрическим, если существует такая прямая L, что значения поля u(M) зависят только от расстояния r от точки М до прямой L. Если система координат введена так, что эта прямая - ось Оz, то и u(M)= u(r), т.е. цилиндрическое поле - частный случай плоского поля. Так как , то , . Понятно, что цилиндрическое поле проще всего описывается в цилиндрических координатах, так как функция u(M) не будет зависить от координат .

Скалярное поле называется сферическим, если существует такая точка О, что значения поля u(M) зависят только от расстояния r от точки М до точки О. Если точка О взята за начало системы координат, то и u(M)= u(r). Поверхности уровня сферического поля - сферы с центром в точке О. В этом случае также , . Сферическое поле проще всего описывается в сферических координатах, так как функция u(M) не будет зависить от координат .

17.2. Векторное поле.

17.2.1. Векторное поле. Если каждой точке М некоторой области V пространства соответствует значение некоторой векторной величины (M), то говорят, что в области V задано векторное поле (M). Примеры векторных полей - поле тяготения, поля электрической и магнитной напряжённостей, поле скоростей частиц движущейся жидкости.

Если в некоторой декартовой системе координат вектор (M) имеет координаты Р(M), Q(M), R(M), то . Таким образом, задание векторного поля (M) эквивалентно заданию трёх скалярных полей Р(M), Q(M), R(M). Будем называть векторное поле гладким, если его координатные функции - гладкие скалярные поля. Кроме того, будем предполать, что векторное поля не имеет особых точек, т.е.