Лекции Гордина (Поверхностные интегралы1)

Посмотреть архив целиком

16.4. Поверхностные интегралы.

16.4.1. Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация поверхности. Поверхность может быть односторонней и двусторонней. Простой пример модели односторонней поверхности - лист Мёбиуса, который получается, если взять узкую длинную полоску бумаги и склеить её узкие торцы, перекрутив полоску один раз. В том, что у полученной поверхности одна сторона, можно убедиться, если начать закрашивать её в какой-нибудь цвет, не отрывая кисть от бумаги и не пересекая границ. В результате будет окрашен весь лист Мёбиуса. Мы будем рассматривать только двусторонние поверхности.

Поверхность называется гладкой, если в каждой её точке существует касательная плоскость, непрерывно меняющаяся вдоль поверхности. Поверхность называется кусочно-гладкой, если она состоит из нескольких гладких частей, примыкающим друг к другу по гладким или кусочно- гладким кривым. Так, плоскость - гладкая поверхность; поверхность куба - кусочно-гладка.

Д
адим формальное определение односторонней и двусторонней поверхностей. Пусть дана гладкая поверхность
, и на ней произвольно выбрана точка М. Из двух возможных направлений нормали в этой точке выберем одно и зафиксируем его. Характеризовать это направление будем единичным вектором нормали . Возьмём замкнутый контур С, проходящий через точку М, целиком лежащий в и не пересекающий её границы, и будем двигаться по контуру, восстанавливая в каждой точке нормаль так, чтобы она непрерывно получалось из . Если для любого такого контура и любой точки М мы вернёмся в М с исходным направлением нормали, то поверхность называется двусторонней. Если хотя бы для одного контура мы вернёмся в исходную точку с противоположным направлением нормали, то поверхность называется односторонней.

Задать ориентацию поверхности (выбрать определённую сторону поверхности) означает выбрать в каждой точке один из двух возможных векторов нормали так, чтобы он непрерывно менялся от точки к точке. Для этого достаточно определить нормаль в какой-либо одной точке ; во всех остальных точках М направления нормали должны браться так, чтобы они получались непрерывным переносом из вдоль какого-нибудь пути . Согласно определению двусторонней поверхности, мы гарантированно придём в точку с одним и тем же направлением нормали при любом пути .

1
6.4.2. Поток жидкости через поверхность.
Как и при изучении криволинейных интегралов, начнём с физической задачи. Пусть через объём V течёт поток жидкости, имеющий скорость в точке М. Пусть в V размещена проницаемая (возможно, воображаемая) поверхность . Требуется найти количество жидкости, протекающей через за единицу времени. В дальнейшем мы будем называть это количество потоком через поверхность.

В случае, когда - ограниченная плоская область и , решение очевидно. Это количество равно объёму, ограниченному цилиндрической поверхностью с основанием и боковой стороной . Площадь основания объёма равна (этим символом мы обозначаем и поверхность, и её площадь), высота , т.е. равна скалярному произведению вектора скорости на единичный вектор нормали. Итак, . Заметим, что изобразив на рисунке единичный вектор нормали, мы ввели на поверхности ориентацию. Так, применительно к рисунку справа, мы выбрали верхнюю сторону поверхности; если бы выбрали противоположную нормаль, поток изменил бы знак.

Возможны два способа представления этой величины.

1. Обозначив , получим .

2. Если в некоторой координатной системе имеет координаты P, Q, R, единичный вектор имеет координаты - направляющие косинусы , то . Чему равно произведение ? Произведение равно площади проекции поверхности на

п
лоскость
Oxy (площади всегда положительны). Следовательно, равно , если (или, что то же самое, угол - острый; проекция