Все к экзамену (ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПР ОГРАММА ПО КУРСУ О Д У )

Посмотреть архив целиком

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (2 СЕМЕСТР) (ф-ты МТ,

РК, СМ, Э, ИБМ)

1. Первообразная. Доказать теоремы о первообразных. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов, ее вывод.

2. Интегрирование подстановкой и по частям. Примеры. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций.

3. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших Примеры. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование неправильных рациональных дробей.

4. Определенный интеграл, его механический и геометрический смысл, теорема существования. Доказать линейность и аддитивность определенного интеграла.

5. Доказать теоремы об оценке и о среднем для определенного интеграла.

6. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Доказать теорему о производной интеграла с переменным верхним пределом. Вывести формулу Ньютона-Лейбница.

7. Вычисление определенного интеграла подстановкой и по частям (вывод). Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат (вывод), интегрирование периодических функций. Примеры.

8. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства. Признаки сходимости. Примеры. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Примеры.

9.Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах (вывод).

10. Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения (вывод).

11. Вычисление длин дуг кривых и площадей поверхностей вращения (вывод).


12. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). ДУ 1-го порядка. Частные и общее решения ДУ, интегральные кривые. Задача Коши и теорема существования и единственности ее решения. Особые точки и особые решения ДУ. Примеры.


13. Геометрическая интерпретация ДУ 1-го порядка. Поле направлений. Геометрическое решение ДУ 1-го порядка с помощью изоклин. Примеры.

14. Простейшие типы ДУ 1-го порядка (с разделяющимися переменными, однородные .линейные, Бернулли) и их решение. Примеры.


15. ДУ п-го порядка. Частные и общее решения. Задача Коши, ее геометрическая интерпретация при п=2 . Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Краевая задача.


16. Понижение порядка некоторых типов ДУ высших порядков.


17. Линейные ДУ (ЛДУ) п-го порядка: однородные (ОЛДУ) и неоднородные. Теорема о существовании и единственности решения. Линейный дифференциальный оператор. Доказать свойства линейного дифференциального оператора и линейность пространства решений ОЛДУ.


18. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского (вронскиан). Доказать теорему о вронскиане системы линейно зависимых функций и теорему о вронскиане системы линейно независимых частных решений ОЛДУ.


19. Доказать теорему о размерности пространства решений ОЛДУ п-го порядка. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.


20. Формула Остроградского- Лиувилля для ОЛДУ п-го порядка (вывод для п=2) и ее следствия.


21. Доказать теорему о структуре общего решения неоднородного ЛДУ п-го порядка и теорему о наложении частньгх решений.


22 ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение и построение общего решения по его корням (вывод для п=2).


23. Нахождение частных решений неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

24. Метод вариации постоянных решения неоднородных ЛДУ п-го порядка (вывод для п=2).


25. Нормальные системы ДУ. Задача Коши и теорема о существовании и единственности ее решения. Сведение ДУ п-го порядка к нормальной системе, примеры. Сведение нормальной системы к одному уравнению п-го порядка (вывод для п=2), примеры


26. Автономные системы ДУ. Фазовое пространство и фазовые траектории. Первые интегралы систем ДУ. Симметричная форма записи систем ДУ и ее применение к нахождению первых интегралов Примеры.


27. Системы ИДУ 1-го порядка, однородные и неоднородные. Матричная запись системы. Доказать линейность пространства решений системы ОЛДУ.


28. Вронскиан системы вектор- функций и его свойства. Доказать теорему о размерности пространства решений системы ОЛДУ. Структура общего решения . Фундаментальная система решений.


29. Структура общего решения системы неоднородных ЛДУ. Метод вариации произвольных постоянных (вывод).


30. Системы ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод для случая вещественных различных корней).


31. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость решений систем ДУ. Примеры. Сведение к устойчивости тривиального решения (точки покоя) произвольных и линейных систем ДУ.


32. Классификация точек покоя системы 2-х ОЛДУ с постоянными коэффициентами.

33. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Функция Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости.


Случайные файлы

Файл
Шпоры ТКМ.doc
29728.rtf
85351.rtf
72989-1.rtf
23872-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.