Все к экзамену (Shpargalka_3)

Посмотреть архив целиком

3. Определение касательной и нормали к плоской кривой. Вывод их уравнений.


Касательной к данной кривой в данной на ней точке M0 называется предельное положение секущей при условии, что точка M1, перемещаясь по этой кривой, неограниченно приближается к точке M0.

Рассм. M0CM1: M0(x0;y0) M1(x1,y1)

tg=M1C/M0C M0C=x1-x0=x M1C=y1-y0=y

Нормалью данной кривой в данной на ней точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной в этой точке.


4. Определение непрерывности и дифференцируемости функций. Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости.


Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x0, если она определена в некоторой окрестности точки x0 (очевидно, и в самой точке x0)и еслиили,что то же самое


Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x=x0, если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде y=Ax+(x)x, где A=const,


Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x=x0, то она непрерывна в этой точке.

Дано: y=f ‘(x0)x+(x)x

Док-ть:

Док-во:


7. Вывод формул для производных sinx, cosx


y=sinx:

x; y=f(x0+x)-f(x0)

y=sin(x0+x)-sinx0=2sin(x/2)cos(x0+x/2)

y=cosx:

x; y=f(x0+x)-f(x0)

y=cos(x0+x)-cosx0=-2sin(x/2)sin(x0+x/2)


8. Вывод формулы производной сложной функции.


Если функция x=(t) дифференцируема в точке t0, а функция y=f(x) дифференцируема в точке x=x0=(t0), то сложная функция y=f((t)) дифференцируема в точке t=t0 и ее производная в этой точке находится по формуле

Док-во:

Т. к. функция y=f(x) дифференцируема в точке x=x0, то y=f ‘(x0)x+(x)x.



9. Вывод формулы для производной логарифмической функции.



11. Вывод производных показательной и степенной функций.


Производная показательной функции:


Производная степенной функции:



12. Дифференциал функции. Определение. Свойство инвариантности формы дифференциала.


Дифференциалом дифференцируемой функции называется главная, линейная относительно x, часть приращения функции.


Форма дифференциала функции f(x) не зависит от того, является ли x независимой переменной или функцией другого независимого переменного.

Док-во:


13. Определение максимума и минимума. Док-во необходимого условия экстремума.

Функция y=f(x) имеет максимум [минимум] в точке x=x0, если найдется такая окрестность этой точки, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x0)>f(x) [f(x0)


Если функция y=f(x) имеет в точке x=x0 экстремум, то ее производная в этой точке равна 0 или не существует(???).

Дано: x=x0 -точка максимума.

Док-ть: f ‘(x0)=0.

Док-во:

(для минимума - по аналог. док-ву)


14. Определение максимума и минимума. Доказательство достаточных условий экстремума.

Функция y=f(x) имеет максимум [минимум] в точке x=x0, если найдется такая окрестность этой точки, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство f(x0)>f(x) [f(x0)


Если функция y=f(x) непрерывна в точке x=x0 и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, и если при переходе через эту точку производная меняет знак, то в этой точке функция имеет экстремум: если знак f ‘(x) меняется с “+” на “-” - то функция имеет максимум в этой точке; если с “-” на “+” - то минимум.

Док-во:

Функция f(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа.


15. Возрастание, убывание функции. Теорема о достаточном условии монотонности функции.

Функция y=f(x) называется возрастающей [убывающей] на интервале (a;b), если из неравенства x2>x1 следует неравенство f(x2)>f(x1) [f(x2)1)] при условии, что (x1;x2)(a;b).


Если функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f ‘(x)>0 [f ‘(x)<0] на этом интервале, то эта функция возрастает [убывает] на этом интервале.

Д-во:

Возьмем две произвольные точки: x1,x2(a;b);

x0(a;b), x2>x1.

Рассм. отрезок [x1,x2]. На нем функция y=f(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа.

По теореме Лагранжа найдется (x1;x2), что выполняется равенство f(x2)-f(x1)=f ‘()(x2-x1).

1) f ‘(x)>0 x2-x1>0 ; f ‘()>0 f(x2)-f(x1)>0

f(x2)>f(x1).

2) f ‘(x)<0

f ‘()<0

x2-x1>0f(x2)-f(x1)<0

f(x2)1)


3. Определение бесконечно малых и их свойства.


Функция (x) называется бесконечно малой в точке x=x0, если предел (x) при xx0 равен 0.

Свойства:

1. Сумма бесконечно малых есть бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малых есть бесконечно малая.

3. Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию есть бесконечно малая. (Функция f(x) называется ограниченной в точке x=x0, если найдется такое число M и такая -окрестность, что для всех x из -окрестности выполняется неравенство f(x)


4. Определение бесконечно большой. Ее связь с бесконечно малой.


Функция f(x) называется бесконечно большой в точке x=x0, если для любого положительного M найдется такая -окрестность этой точки, что для всех x из этой -окрестности выполняется неравенство f(x)>M.

Если f(x) - бесконечно большая в точке x=x0, то функция (x)=1/f(x) будет бесконечно малой в этой точке.

Если функция (x) - бесконечно малая в точке x=x0, то функция f(x)=1/(x) будет бесконечно большой в этой точке.


6. Непрерывность функции.


Функция f(x) называется непрерывной в точке x=x0, если ее предел в этой точке равен значению функции в этой точке.

Условия непрерывности:


Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x0, если она определена в некоторой окрестности точки x0 (очевидно, и в самой точке x0)и еслиили,что то же самое


Функция y=f(x) называется непрерывной на данном промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.


7. Точки разрыва и их классификация.


Точка x=x0 называется точкой разрыва функции y=f(x), если эта функция не является непрерывной в этой точке.


Точка x=x0 называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существует предел слева и справа от этой функции.

Точка x=x0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из пределов слева и справа не существует.


8. Геометрический смысл дифференциала.


Дифференциалом дифференцируемой функции называется главная, линейная относительно x, часть приращения функции.


Дифференциал функции в данной точке равен приращению ординаты касательной.


13. Определение выпуклости и вогнутости графика функции. Достаточные условия.


График функции y=f(x) называется выпуклым [вогнутым] в точке (x0;f(x0)), если в этой точке существует касательная к этому графику, которая в некоторой окрестности этой точки расположена выше [ниже] этой кривой.

График функции y=f(x) называется выпуклым [вогнутым] на интервале (a;b), если он выпуклый [вогнутый] в каждой точке этого интервала.


Если функция y=f(x) дважды дифференцируема на интервале (a;b) и ее вторая производная отрицательна [положительна] во всех точках этого интервала, то график функции y=f(x) является выпуклым [вогнутым] на этом интервале.



14. Определение точки перегиба. Достаточные условия.


Точка (x0;f(x0)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в этой точке существует касательная и если она отделяет интервал выпуклости от интервала вогнутости.


Пусть функция y=f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x=x0, и в точке (x0;f(x0)) существует касательная к графику этой функции. Если при переходе через точку x=x0 вторая производная меняет знак, то точка (x0;f(x0)) является точкой перегиба графика функции.


15. Определение асимптоты к графику функции и нахождение невертикальной асимптоты.


Асимптотой данной кривой называется такая прямая, что расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.


Наклонные (невертикальные) асимптоты - асимптоты, не параллельные оси oy. Кривая, заданная уравнением y=f(x) имеет невертикальную асимптоту, определяемую уравненем y=kx+b, тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы

и

(или соответственно при x-)


Правило Лопиталя


Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки x=x0 и

и , то выполняется равенство


2. Теорема Ролля и ее геометрический смысл.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема в каждой внутренней точке этого отрезка и на его концах обращается в нуль, то внутри отрезка [a;b] найдется такая точка , что f ‘()=0.


Если функция y=f(x) удовлетворяет на отрезке [a;b] всем условиям теоремы Ролля, то на графике функции найдется такая точка, касательная в которой параллельна оси абсцисс.



3. Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в каждой внутренней его точке, то внутри отрезка [a;b] найдется такая точка , что выполняется равенство

f(b)-f(a)=f ‘()(b-a).


Если функция y=f(x) на отрезке [a;b] удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, то на дуге, являющейся графиком этой функции, найдется такая точка, касательная в которой будет параллельна хорде, стягивающей эту дугу.



4. Точки разрыва функции. Их классификация.

Точка x=x0 называется точкой разрыва функции y=f(x), если эта функция не является непрерывной в этой точке.


Точка x=x0 называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существует предел слева и справа от этой функции.

Точка x=x0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из пределов слева и справа не существует.



5. Выпуклость. Вогнутость.

График функции y=f(x) называется выпуклым [вогнутым] в точке (x0;f(x0)), если в этой точке существует касательная к этому графику, которая в некоторой окрестности этой точки расположена выше [ниже] этой кривой.

График функции y=f(x) называется выпуклым [вогнутым] на интервале (a;b), если он выпуклый [вогнутый] в каждой точке этого интервала.


6. Точки перегиба. Достаточное условие.

Точка (x0;f(x0)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в этой точке существует касательная и если она отделяет интервал выпуклости от интервала вогнутости.


Пусть функция y=f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x=x0, и в точке (x0;f(x0)) существует касательная к графику этой функции. Если при переходе через точку x=x0 вторая производная меняет знак, то точка (x0;f(x0)) является точкой перегиба графика функции.

7. Асимптоты кривой. Вертикальные, наклонные. Условия их существования.

Асимптотой данной кривой называется такая прямая, что расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.


Вертикальные асимптоты - асимптоты, параллельные оси ординат. Если функция f(x) в точке x0 имеет бесконечный разрыв, то уравнение x=x0 есть уравнение вертикальной асимптоты графика этой функции.

Наклонные (невертикальные) асимптоты - асимптоты, не параллельные оси oy. Кривая, заданная уравнением y=f(x) имеет невертикальную асимптоту, определяемую уравненем y=kx+b, тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы

и

(или соответственно при x-)


9. Определение функции и ее графика. Способы задания функции.


Если каждому значению x из некоторого числового множества E сопоставлено одно определенное значение переменной величины y, то говорят, что y является функцией независимой переменной x.

Графиком функции y=f(x) в данной прямоугольной системе координат xOy называется геометрическое место точек плоскости, координаты (x;y) которых удовлетворяют соотношению y=f(x).


Способы задания функции:

1. Аналитический.

2. Графический.

3. Табличный.


Случайные файлы

Файл
23853.rtf
147485.rtf
122160.doc
11171.rtf
4413.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.