Краткий курс лекций по Матану Галкина (Краткий курс лекций по Матану Галкина)

Посмотреть архив целиком




Галкин С. В.









Краткий курс математического анализа

в лекционном изложении

для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана

(второй семестр)
































М. 2002г.


Лекция 1 Неопределенный интеграл, таблица интегралов.


Функция называется первообразной для функции , если .

Теоремы о первообразных.

Теорема. Если - первообразная для функции , то (- константа) - тоже первообразная для функции .

Доказательство. .

Теорема. Пусть - две первообразных для функции , тогда они различаются на некоторую константу (- константа).

Рассмотрим функцию , она непрерывна и дифференцируема на всей числовой оси, как и функции . Тогда для любых конечных значений по формуле конечных приращений Лагранжа .

Следовательно,


Неопределенным интегралом (интеграл от функции по ) называется совокупность всех первообразных функций для функции .

.

Функция , стоящая под знаком интеграла, называется подинтегральной функцией, а выражение - подинтегральным выражением..


Свойства неопределенного интеграла.


Свойства неопределенного интеграла можно условно разделить на две группы. В первую группу собраны свойства, вытекающие из того, что интегрирование – операция, обратная дифференцированию. Во вторую группу собраны свойства линейности. Эти свойства вытекают из того, что интегрирование, как и дифференцирование – линейная операция и определяют линейную операцию.


Первая группа свойств.

  1. .

  2. .


Докажем первое свойство.

Так как

Здесь - первообразная для .

Докажем второе свойство.

Обозначим Тогда , а по первому свойству. Поэтому функции являются первообразными для функции . Следовательно, по теоремам о первообразных, они различаются на константу, т.е.