Вся теория Гордина 2 курс (Комплексные числа)

Посмотреть архив целиком

19. Теория функций комплексной переменной.

19.1. Комплексные числа.

19.1.1. Определение комплексного числа.

Опр.19.1.1. Комплексным числом будем называть упорядоченную пару действительных чисел , записанную в форме , где - новый объект ("мнимая единица"), для которого при вычислениях полагаем .

Первая компонента комплексного числа , действительное число , называется действительной частью числа , это обозначается так: ; вторая компонента, действительное число , называется мнимой частью числа : .

Опр.19.1.2. Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: .

Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чисел не вводятся отношения "больше" или "меньше".

Геометрически комплексное число изображается как точка с координатами на плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью С.

Опр.19.1.3. Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число , определяемое соотношением , т.е. , .

Это означает, что геометрически комплексные числа складываются как векторы на плоскости, покоординатно.

Опр.19.1.4. Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число , определяемое соотношением , т.е. .

Для двух комплексных чисел с нулевой мнимой частью и получим , , т.е. для множества комплексных чисел с нулевой мнимой частью операции сложения и умножения не выводят за пределы этого множества. Отождествим каждое такое число с действительным числом , равным действительной части комплексного числа, т.е. будем считать, что . Теперь действительные числа - подмножество множества комплексных чисел С. Далее, числа с нулевой действительной частью, т.е. числа вида , называются мнимыми числами. Мнимое число с единичной мнимой частью будем записывать просто как : ; квадрат этого числа, по определению умножения, равен , что обосновывает данное в опр.19.1.1 свойство "мнимой единицы".

Легко убедиться, что операция сложения на множестве комплексных чисел имеет свойства, аналогичные аксиомам I.1- I.4, которым удовлетворяет операция сложения действительных чисел (см. раздел 3.1. Аксиомы действительных чисел):

I.1. ;

I.2. ;

I.3. Существует такой элемент , что для . Этот элемент - число .

I.4. Для каждого элемента существует такой элемент , что . Этот элемент - число . Сумма чисел и называется разностью чисел и : .

Прежде, чем определить операцию деления комплексных чисел, введём понятия сопряжённого числа и модуля комплексного числа.

Опр.19.1.5. Число называется числом, сопряжённым к числу . Часто сопряжённое число обозначается также символом .

Опр.19.1.6. Действительное число называется модулем комплексного числа