Вся теория Гордина 2 курс (Изолированные особые точки аналитической функции. Вычеты)

Посмотреть архив целиком

19.7. Изолированные особые точки аналитической функции. Вычеты.

19.7.1. Нули аналитической функции.

Определение. Точка а называется нулём порядка k аналитической функции , если , но .

Пример. Пусть . Точка - нуль этой функции, так как . Найдём порядок нуля: , . Первая отличная от нуля производная функции в точке - пятая, поэтому эта точка - нуль пятого порядка функции .

Теорема. Для того, чтобы аналитическая в точке а функция имела в этой точке нуль k -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этой точки функция представлялась в виде , где - аналитическая в точке а функция, и.

Доказательство. Необходимость. Пусть точка а - нуль k-го порядка функции , т.е. , и . Тогда её разложение в ряд Тейлора имеет вид , где - аналитическая (как сумма степенного ряда с тем же кругом сходимости, что у ряда для ) функция, .

Достаточность. Пусть , где - аналитическая функция, и. Находим производные этой функции по формуле Лейбница : ; ; ………………………….; ; , что и требовалось доказать.

Из этой теоремы следует, что если многочлен разложен на множители , то корни являются нулями функции кратностей, соответственно, .

19.7.2. Изолированные особые точки.

19.7.2.1. Определение. Точка а называется изолированной особой точкой функции , если существует окрестность этой точки, в которой аналитична во всех точках, за исключением точки а.

Рассмотрим разложение функции в ряд Лорана