Вся теория Гордина 2 курс (Приложения операционного исчисления)

Посмотреть архив целиком

20.5. Приложения операционного исчисления

к решению линейных дифференциальных уравнений и их систем.

20.5.1. Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

Начальные условия в этой задаче заданы в точке . Если начальные условия задаются в другой точке , то заменой аргумента их сдвигают в точку .

Метод решения этой задачи основан на теореме о дифференцировании оригинала. Предположим, что функция , её производные до -го порядка, правая часть являются функциями-оригиналами, и . Тогда , , …, , и изображение задачи будет иметь вид , где - изображение правой части уравнения. Это линейное относительно алгебраическое уравнение, решив которое, находим . Оригинал этого изображения и будет решением задачи Коши.

Пример. Найти решение задачи Коши .

Решение. Пусть . Тогда , , , и изображение задачи имеет вид . Находим : . Обращаем это изображение: , . Решение задачи: .

20.5.2. Общее решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Заметим, что решив задачу Коши с произвольными начальными условиями, мы получим общее решение уравнения. Так, для задачи предыдущего пункта изображение будет иметь вид . Решение задачи зависит от двух произвольных постоянных, представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения , следовательно, является общим решением уравнения.

20.5.3. Краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Если найдено общее решение уравнения, оно может быть использовано для решения краевой задачи. Пусть, например, задана краевая задача . Так как общее решение уже известно: , остаётся найти значения произвольных постоянных, при которых выполняются краевые условия: следовательно, решение краевой задачи равно


20.5.4. Уравнения с импульсной и составной правой частью. Это, возможно, единственный случай, когда операционное исчисление имеет преимущество перед другими методами решения рассматриваемых задач. Теорема запаздывания (20.2.4) позволяет полностью сохранить изложенный порядок действий. В качестве примера рассмотрим задачу , где - изображённая на рисунке периодическая функция периода Т:

Изображение первого периода мы нашли в 20.2.4.1: ; изображение всей правой части, согласно разделу 20.2.4.3. Периодические функции, равно ; изображение уравнения . Оригиналы для первых двух слагаемых выписываются просто; для обращения последнего слагаемого представим произведение в виде , множитель развернем в геометрическую прогрессию