Вся теория Гордина 2 курс (Функция комплексной переменной)

Посмотреть архив целиком

19.2. Функция комплексной переменной.


19.2.1. Определение функции комплексной переменной ничем не отличается от общего определения функциональной зависимости. Напомним, что областью на плоскости мы называем любое открытое связное множество точек этой плоскости. Область односвязна, если любая подобласть, ограниченная непрерывной замкнутой самонепересекающейся кривой, лежащей в этой области, целиком принадлежит области.

Рассмотрим две плоскости комплексных чисел: и . Пусть в плоскости С задана область D и задано правило, ставящее в соответствие каждой точке определённое комплексное число . В этом случае говорят, что на области D определена однозначная функция (или определено отображение ). Область D называется областью определения функции, множество - множеством значений функции (или образом области D при отображении f.

Если каждому ставится в соответствие несколько значений ( т.е. точка z имеет несколько образов), то функция называется многозначной.

Функция называется однолистной в области , если она взаимно однозначно отображает область D на область (т.е. каждая точка имеет единственный образ , и обратно, каждая точка имеет единственный прообраз .

19.2.2. Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной. Так как , то зависимость можно записать в виде . Таким образом, задание комплекснозначной функции комплексной переменной z равносильно заданию двух действительных функций двух действительных переменных х,у.

Примеры: 1. . Выражаем через х,у:

2. . Здесь

Дальше многие свойства ФКП (функций комплексной переменной) мы будем формулировать в терминах её действительной части u(x,y) и мнимой части v(x,y), поэтому техника выделения этих частей должна быть хорошо отработана.

19.2.3. Геометрическая иллюстрация ФКП. Задание функции как пары наводит на мысль изображать ФКП как пару поверхностей в трёхмерном пространстве, однако этот способ неудобен, так как он не позволяет осмыслить пару (u,v) как комплексное число. Иногда изображают поверхность , которую называют рельефом функции . На эту поверхность наносят линии уровня функции ; при наличии определенного опыта этой информации достаточно для того, чтобы составить представление об изменении функции в полярных координатах. Однако универсальный способ изображения ФКП состоит в том, что рисуют множества, соответствующие друг другу при рассматриваемом отображении. Чаще всего берут координатные линии (декартовых или полярных координат) и находят их образы.

Примеры. 1. Линейная функция , где - фиксированные комплексные числа, - их действительные части, - их мнимые части.

Представим эту функцию в виде суперпозиции двух функций: и . Отображение , согласно интерпретации умножения чисел в тригонометрической форме, приводит к увеличению аргумента числа z на arg a и растяжению его модуля в раз; отображение приводит к сдвигу точки на вектор