Вся теория Гордина 2 курс (Тройной интеграл(23))

Посмотреть архив целиком

16.2. Тройной интеграл.


16.2.1. Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла. Пусть в пространстве Oxyz задана ограниченная замкнутая область (объём) V, и пусть на области V определена функция .

Разобьём область V произвольным образом на подобластей (не имеющих общих внутренних точек). Символом будем обозначать объём области ; символом обозначим наибольший из диаметров областей : .

В каждой из подобластей выберем произвольную точку , вычислим в этой точке значение функции , и составим интегральную сумму .

Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения области V на подобласти , ни от выбора точек , то функция называется интегрируемой по области V, а значение этого предела называется тройным интегралом от функции по области V и обозначается .

Если расписать значение через координаты точки , и представить как , получим другое обозначение тройного интеграла: . Итак, кратко, .

Теорема существования тройного интеграла. Если подынтегральная функция непрерывна на области V, то она интегрируема по этой области.

  1. 16.2.2. Свойства тройного интеграла по смыслу и доказательству полностью аналогичны свойствам определённого и двойного интегралов.

  2. 16.2.2.1. Линейность. Если функции , интегрируемы по области V, то их линейная комбинация тоже интегрируема по , и .

  3. 16.2.2.2. Аддитивность. Если область является объединением двух областей и , не имеющих общих внутренних точек, то .

16.2.2.3. Интеграл от единичной функции по области V равен объёму этой области: .

16.2.2.4 Интегрирование неравенств. Если в любой точке выполняется неравенство , и функции интегрируемы по области V, то .

        1. Теоремы об оценке интеграла.

16.2.2.4.1. Если функция интегрируема по области V, и для