Вся теория Гордина 2 курс (Фурье ряды)

Посмотреть архив целиком

18.3. Ряды Фурье.

18.3.1. Тригонометрическая система функций и её ортогональность на отрезке .

Определение. Тригонометрической системой функций называется следующая бесконечная система функций: .

Определение. Непрерывные на отрезке функции и называются ортогональными на этом отрезке, если .

Другими словами, мы вводим понятие скалярного произведения функций на множестве функций, непрерывных на отрезке . Это скалярное произведение будем обозначать символом : . Функции и ортогональны на отрезке , если их скалярное произведение равно нулю.

Утверждение. Тригонометрическая система функций ортогональна на отрезке .

Доказательство. 1. : .

2. : .

3. : .

4. : .

5. : .

Для дальнейшего нам понадобятся скалярные квадраты элементов тригонометрической системы функций:

;

;

.

18.3.2. Тригонометрические ряды (ряды Фурье) периодической функции периода .

Тригонометрическим рядом называется ряд вида

.

Условия сходимости этого ряда мы сформулируем дальше, сейчас предположим, что этот ряд сходится в любой точке, и что его сумма равна . Очевидно, что - периодическая функция периода (как сумма периодических функций). Выразим коэффициенты ряда через функцию . Умножая скалярно равенство на 1, получим

. Так как , , то все слагаемые в сумме равны нулю, поэтому , или . Умножим то же равенство скалярно на , в результате . Здесь равны нулю все скалярные произведения, кроме скалярного квадрата функции (в сумме при ), поэтому .

Умножая равенство