Вся теория Гордина 2 курс (Обращение преобразования Лапласа)

Посмотреть архив целиком


20.4. Обращение преобразования Лапласа.


20.4.1. Формула Римана-Меллина. Если функция - изображение функции-оригинала , то может быть найдена по формуле

.

Это равенство имеет место в каждой точке, в которой непрерывна. В точках разрыва функции значение правой части равно . Интеграл в правой части формулы называют интегралом Меллина; интегрирование может вестись по любой вертикальной прямой , и интеграл понимается в смысле главного значения:

.

Вычисление оригинала по формуле Римана-Меллина довольно трудоёмко, поэтому на практике при решении задач применяют другие методы, которые рассматриваются ниже.

20.4.2. Элементарный метод нахождения оригинала. Этот метод основан на непосредственном применении таблицы стандартных изображений 20.3 и свойств преобразования Лапласа.

Примеры. 1. . Представляя изображение в виде и сравнивая эти выражения с формулами 9, 10 таблицы, находим оригинал .

2. . Наличие степеней переменной р в знаменателе позволяет применить теорему 20.2.5 об интегрировании оригинала: , , .

Можно решить этот пример с помощью свёртки: , . Однако проще всего представить в виде суммы простых дробей .

20.4.3. Первая теорема разложения. Если точка является нулём функции , аналитична в окрестности этой точки и разложение функции по степеням р в окрестности точки имеет вид , то функция есть изображение функции .

Это выражение получается в результате почленного перехода к оригиналам в ряде : так как , то , и .

Примеры. 1 . . Условия теоремы выполнены. Лорановское разложение функции в окрестности точки : .

2.