Вся теория Гордина 1 курс (Неопределённый интеграл)

Посмотреть архив целиком

10. Неопределённый интеграл.

10.1. Первообразная функция.

Опр.10.1. Функция называется первообразной для функции на интервале (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала является производной для , т.е. .

Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции требуется найти функцию , производная которой равна .

Первообразная определена неоднозначно: для функции первообразными будут и функция , и функция : . Для того, чтобы описать все множество первообразных функции , рассмотрим

Свойства первообразной.

  1. Если функция - первообразная для функции на интервале , то функция , где - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для на этом интервале. (Док-во: ).

  2. Если функция - некоторая первообразная для функции на интервале , то любая другая первообразная может быть представлена в виде , где - постоянная на функция.

Док-во. Так как функции и - первообразные для , то (по теор.8.1. условие постоянства дифференцируемой функции на интервале) .

  1. Для любой первообразной выполняется равенство .

Из этих свойств следует, что если - некоторая первообразная функции