Вся теория Гордина 1 курс (ббббббббббббббб)

Посмотреть архив целиком

15.4.2.1. Уравнение вида решается последовательным -кратным интегрированием. Пример:

Переобозначив постояные, общее решение запишем в виде

15.4.2.2. Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие производные. Порядок уравнения вида , не содержащего функции и младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на единиц введением новой неизвестной функции . Тогда , и относительно уравнение примет вид , т.е. будет уравнением -го порядка. После нахождения последовательным интегрированием решается уравнение .

Пример: решить задачу Коши:

.

Младшая производная, входящая в явной форме в уравнения, - вторая, поэтому делаем замену искомой функции . Тогда , и уравнение примет вид . Это - уравнение Бернулли; пусть , тогда , , ,

следовательно, . Относительно - это уравнение . Мы можем последовательно находить и так далее, однако в этом нет необходимости. Так как мы решаем задачу Коши, то из начального условия

при можно определить и знак частного решения, и значение постоянной : . Теперь . Из условия при находим : ; из условия при находим : . Окончательный ответ: .

15.4.2.3. Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную . Порядок уравнения , не содержащего явно , может быть понижен на 1 с помощью красивого искусственного приёма, который заключается в том, что вводится новая функциональная зависимость от : . Старшие производные по вычисляются по правилу дифференцирования сложной функции: .

Аналогично,

Также находятся следующие производные, и всегда -ая производная по выражается через -ую производную по. В случае уравнения второго порядка в результате таких преобразований получим , т.е. уравнение первого порядка (в котором выступает как аргумент, - как неизвестная функция). После нахождения решения этого уравнения решается уравнение , решение которого будет общим решением исходного уравнения.

Примеры: 1. Задача Коши .

Переменная явно в уравнение не входит, поэтому полагаем , , тогда . Просто сократить на это уравнение нельзя, так как можно потерять семейство решений , поэтому рассматриваем два случая:

  1. ;

2. Это - уравнение с разделяющимися переменными: . Получено уравнение , решаем его:

. Это общее решение уравнения, в данном случае оно включает в себя решение при . Находим значения постоянных, при которых удовлетворяются начальные условия: из . Далее, из следует, что , т.е. . Частное решение - , т.е. .

Пример 2.

Решение:

. Интеграл от дифференциала в левой части этого равенства вообще не берётся, поэтому проверим, не упростится ли задача, если использовать начальные условия. Так как при должно быть , то получим . Поэтому частное решение должно удовлетворять уравнению . Находим : . Ответ: решение задачи Коши .

15.4.2.4. Применение интегрируемых комбинаций. Иногда удаётся заметить, что в уравнении правая часть является производной некоторой функции , т.е. уравнение имеет вид . Интегрируя по , получим уравнение, порядок которого на единицу меньше порядка исходного уравнения (так называемый первый интеграл уравнения): .

Пример: . Если переписать это уравнение в виде и сообразить, что справа стоит производная функции , то получим , откуда . Это уравнение не содержит явно , поэтому

.


Случайные файлы

Файл
18238-1.rtf
DEMOKRAT.DOC
159945.rtf
131813.rtf
8800-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.