Вся теория Гордина 1 курс (Дифференцируемость функций)

Посмотреть архив целиком

6. Дифференцируемость функций.

6.1. Определение производной функции.

6.1.1. Задачи, приводящие к понятию производной.


6.1.1.1. Вычисление скорости неравномерно движущегося тела.
Пусть материальная точка неравномерно движется вдоль оси Ох. Известна зависимость пути s(t), пройденного к моменту времени t от времени, требуется найти значение скорости точки в момент t0. Если мы возьмём любое t1 t0 и найдём отношение , то будет получено среднее значение скорости на отрезке [t0, t1]. Чтобы получить мгновенное значение скорости в момент t0, мы должны устремить t1 к t0, т.е. найти предел , где t= t1- t0, s= s(t1)- s(t0).

6.1.1.2. Нахождение углового коэффициента касательной к графику функции.


Опр. 6.1.1.2. Касательной к графику функции y=f(x) в точке M0(x0,y0=f(x0)) называется предельное положение секущей M0M1 при M1 M0.

Угловой коэффициент секущей равен . Чтобы получить угловой коэффициент касательной, в этом выражении надо перейти к пределу при M1 M0, или, что тоже самое, при х1 х0. Следовательно, , где . Величины х и у называются, соответственно, приращением аргумента и функции. Таким образом, при решении этих совершенно разных задач, как и множества других задач науки и техники, требуется находить предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Это приводит к определению основного понятия дифференциального исчисления - понятию производной.

6.1.2. Определение производной.

Опр.6.1. Пусть функция y=f(x) определена в точке х и некоторой её окрестности. Придадим значению аргумента х приращение х (положительное или отрицательное, но не выводящее за пределы этой окрестности) и найдем соответствующее приращение функции у=f(x+х)- f(x). Передел отношения приращение функции у к приращению аргумента х при х 0 называется производной функции y=f(x) в точке х.

Производную обозначают разными способами. Наиболее распространённые обозначения - . Чаще мы будем применять первое из этих обозначений. Таким образом, . Операция нахождения производной называется дифференцированием.

6.1.3. Геометрический смысл производной.

Уравнения касательной и нормали к графику гладкой функции.

Геометрический смысл производной у'(x0), как следует из вышеизложенного, - угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0,y0=f(x0)). Не любая функция имеет касательную в каждой точке, так, невозможно построить касательную к графику функции |x| в точке (0,0). Чтобы в точке (x0,y0=f(x0)) существовала касательная, необходимо существование предела , т.е. существование производной. Функции, имеющие производную в каждой точке своей области определения (т.е. имеющие касательную в каждой точке), будем называть гладкими. Применяя известные формулы аналитической геометрии для прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом, получаем:

уравнение касательной в точке (x0,y0=f(x0)): ;

уравнение нормали к графику функции в точке (x0,y0=f(x0)): (при условии, что у'(x0)0).

6.2. Производные некоторых элементарных функций.

1. у = С = const. Так как у = С = const, то для х у=0, поэтому .

2. у = х. В Этом случае у= (х+х)-х=х, поэтому .

3. у = ха . (по формуле 8 табл.4.4.10 эквивалентных БМ). Поэтому .

4. . (по формуле 6 табл.4.4.10 эквивалентных БМ). Поэтому (a>0). Следствие: .

5. . (по формуле 7 табл.4.4.10 эквивалентных БМ). Поэтому (a>0, a1, x>0 ). Следствие: .

6. . (по формуле 1 табл.4.4.10 эквивалентных БМ). Поэтому .

7. . и, далее, так же как в в предыдущем случае, получаем .

6.3. Производная обратной функции.

Вывод формул производных функций и .

Теор.6.1. Пусть для f(x): 1. выполняются условия Теор.5.6.5 об обратной функции (непрерывность и строгая монотонность на отрезке [a,b]). 2. в точке х0 существует неравная нулю производная f'(х0). Тогда обратная функция х = g(у) в точке у0= f(х0) также имеет производную, равную .

Док-во. Придадим переменной у приращение у0. Тогда переменная х получит приращение . Вследствие строгой монотонности х0; вследствие непрерывности х0у0. . Устремим у0, тогда х0 и, по условию теоремы, существует (предел дроби), т.е.