Вся теория Гордина 1 курс (Несобственные интегралы)

Посмотреть архив целиком

12. Несобственные интегралы.

При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком ); для существования определённого интеграла необходима ограниченность подынтегральной функции на . Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия (ограниченность и области интегрирования, и подынтегральной функции) собственными; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограничена либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными. В этом разделе мы изучим несобственные интегралы.

12.1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку

(несобственные интегралы первого рода).

12.1.1. Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку , принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции от до и обозначается .

Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.

Примеры: 1. ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.

2.;

следовательно, интеграл сходится и равен .

Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от до :

и в пределах от до : . В последнем случае определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; - произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела. Пользуясь свойством аддитивности определённого интеграла, можно показать, что существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точки . Примеры:

3. . Интеграл сходится.

4.

следовательно, интеграл сходится и равен .

Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интеграла с бесконечным верхним пределом: сходится тогда и только тогда, когда для любого , удовлетворяющего неравенству , сходится интеграл (док-во: так как при по свойству аддитивности , и от не зависит, то конечный предел при для интеграла в левой части существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел для интеграла в правой части равенства).

12.1.2. Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла. В приведённых примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определённый интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Объединим два этих действия в одной формуле. Символом будем обозначать ; символом - соответственно,