Вся теория Гордина 1 курс (Исследование функций и построение их графиков ++)

Посмотреть архив целиком

Вставки в Function1l:

4.4.7.7.

4.4.7.8.

9. sh x x

9. sh x = x+o(x)

10. ch x - 1 x2/2

10. ch x = 1 + x2/2+o(x2)


4.5. Решение задач на вычисление пределов.

4.5.1. Непосредственное вычисление пределов.

В простейших случаях нахождение предела сводится к подстановке предельного значения аргумента в функцию: если f(x) - элементарная функция, определённая в точке а, то , например ;

величина, обратная бесконечно малой - бесконечно большая, поэтому , если f(х)0 при ха;

величина, обратная бесконечно большой - бесконечно малая, поэтому , если f(х) при ха;

, если g(х)0, f(х) при ха, например и т.д.

Найдём ряд пределов, которые понадобятся впоследствии:

  1. Докажем, что . При х  и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности, поэтому пределы такого типа называются неопределённостями . А).При справедливо неравенство (оно справедливо при n=2, далее, по индукции, пусть оно верно при произвольном n, тогда n +1< n + n = =2n <2, т.е. оно верно и при n +1. Следствие: , т.е. последовательность ограничена. Б). Рассмотрим последовательность .

(как предел произведения ограниченной и бесконечно малой последовательностей). В). Пусть х - произвольное вещественное число, x>0. Тогда , где Е(х) - целая часть числа х. Обозначим Е(х)=n. . Устремим х , тогда и n . Предел постоянной 0 равен этой постоянной, предел правой части . По теореме 4.4.6 о пределе промежуточной функции , что и требовалось доказать. Легко видеть, что это доказательство с небольшими изменениями воспроизводится, если заменить число 4 любым числом а>1, поэтому будем считать доказанным, что при а>1.

  1. при а>1 легко сводится к предыдущему. Пусть , тогда ,

у  при х , и .

3. Как следствие при а>1, b>1.

4. (неопределённость ) также сводится к первому из рассмотренных пределов. Пусть у=1/х. Тогда х=1/у, у  при х 0, ln x=ln(1/y)=-ln y, поэтому .

4.5.2. Выделение главной части функции.

Выделение главной части функции - наиболее мощный приём при решении задач на вычисление пределов. Как следует из определений разделов 4.4.8-4.4.11, утверждения "при ха 1. f(x)g(x); 2. f(x)-g(x)=o(g(x)) =o(f(x)); 3. g(x) есть главная часть f(x)" эквивалентны. Так как для f(x) может существовать бесконечно много главных частей при ха (например, при х0 …..), при выделении главных частей указывается их вид; при решении задач на вычисление пределов при ха обычно это С(х-а), при х - это Сх. Основная цель выделения главной части - получение более простой функции, которая в окрестности предельной точки ведёт себя также, как исходная сложная (тогда по теореме 4.4.9.2 о замене бесконечно малых на эквивалентные мы можем заменить сложные функции в числителе и знаменателе на эквивалентные простые); основной инструмент при выделении главных частей - табл. 4.4.10 эквивалентных бесконечно малых. Основные идеи рассмотрим на примерах (в скобках указываются применённые формулы табл. 4.4.10):

Пусть х0. Тогда

1.

2.

3.

4.

Неаккуратность при решении последнего примера даст результат

верный, но бесполезный.

5.