Вся теория Гордина 1 курс (Линейные Ду)

Посмотреть архив целиком

15.5. Теория линейных уравнений.

15.5.1. Общие понятия.

Опр. Линейным дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:

. (20)

Если старший коэффициент отличен от нуля на интервале , т.е. для , то, умножая (20) на , приводим уравнение к виду со старшим коэффициентом, равным 1:

(21)

; дальше мы будем рассматривать уравнение (21).

Если правая часть уравнения тождественно равна нулю на рассматриваемом интервале ( на ), то уравнение называется однородным. Таким образом, однородное уравнение - это уравнение вида

. (22)

Задача Коши для уравнений (21) и (22) ставится также, как и для общего уравнения -го порядка (18) : требуется найти решение уравнения (21) или (22), удовлетворяющее начальным условиям

(23)

где - заданные числа. Для уравнения (18) теорема существования и единственности решения задачи Коши требовала непрерывности функции

и её производных ; если привести (21) к виду (18): ,

то . Таким образом, условия теоремы Коши приводят к необходимости непрерывности функций . Далее, вывод теоремы Коши для уравнения (18) заключался в том, что найдётся окрестность точки , в которой существует однозначно определённое решение задачи Коши; для линейных уравнений (21) и (22) вывод более глобален: единственное решение существует на всём интервале , на котором выполняются условия теоремы:

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения: если функции непрерывны на интервале , - произвольная точка этого интервала, то для любых начальных условий (23) существует единственная функция , определённая на всём интервале и удовлетворяющая уравнению (21) и начальным условиям (23).

Всё дальнейшее изложение ведётся в предположении, что условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши выполняются, даже если это не оговаривается специально.

15.5.2. Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Множество функций, имеющих на интервале не менее производных, образует линейное пространство. Рассмотрим оператор , который отображает функцию , имеющую производных, в функцию, имеющую производных:

(24)

С помощью оператора неоднородное уравнение (21) можно записать так:

; (25)

однородное уравнение (22) примет вид

. (26)

Теорема 15.5.2. Дифференциальный оператор является линейным оператором.

Док-во непосредственно следует из свойств производных:

  1. Если , то

2.


Наши дальнейшие действия: сначала изучить, как устроено общее решение линейного однородного уравнения (26), затем неоднородного уравнения (25), и потом научиться решать эти уравнения. Начнём с понятий линейной зависимости и независимости функций на интервале и определим важнейший в теории линейных уравнений и систем объект - определитель Вронского.


15.5.3. Определитель Вронского. Линейная зависимость и независимость системы функций.

Опр. 15.5.3.1. Система функций называется линейно зависимой на интервале , если существует набор постоянных коэффициентов , не равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на : для .

Если равенство для возможно только при , система функций называется линейно независимой на интервале .

Другими словами, функции линейно зависимы на интервале , если существует равная нулю на их нетривиальная линейная комбинация. Функции линейно независимы на интервале , если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на .

Примеры: 1. Функции линейно независимы на любом интервале . Их линейная комбинация - многочлен степени - не может иметь на больше трёх корней, поэтому равенство для возможно только при .

  1. Пример 1 легко обобщается на систему функций . Их линейная комбинация - многочлен степени - не может иметь на больше корней.

  2. Функции линейно независимы на любом интервале , если . Действительно, если, например, , то равенство имеет место в единственной точке .

  3. Система функций также линейно независима, если числа

  4. попарно различны, однако прямое доказательство этого факта достаточно громоздко.

Как показывают приведённые примеры, в некоторых случаях линейная зависимость или независимость функций доказывается просто, в других случаях это доказательство сложнее. Поэтому необходим простой универсальный инструмент, дающий ответ на вопрос о линейной зависимости функций. Такой инструмент - определитель Вронского.

Опр. 15.5.3.2. Определителем Вронского (вронскианом) системы раз дифференцируемых функций называется определитель

. (28)

15.5.3.3.Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций. Если система функций линейно зависима на интервале , то вронскиан этой системы тождественно равен нулю на этом интервале.

Док-во. Если функции линейно зависимы на интервале , то найдутся числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что

для . (29)

Продифференцируем по равенство (29) раз и составим систему уравнений

Будем рассматривать эту систему как однородную линейную систему алгебраических уравнений относительно . Определитель этой системы - определитель Вронского (28). В каждой точке эта система имеет нетривиальное решение, следовательно, в каждой точке её определитель равен нулю. Итак, при , т.е. на .

15.5.4. Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения (26).

15.5.4.1. Теорема о линейности пространства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. Множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство.

Док-во. Требуется доказать, что множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения (26) (или, что тоже самое, (22)), т.е. не менее раз дифференцируемых функций , для которых , является линейным пространством. Для этого достаточно доказать, что если функции , - частные решения (26), то функции , - тоже частные решения (26). Действительно, пользуясь свойствами пункта 15.5.2. Линейный дифференциальный оператор и его свойства, получим

если , то ;

если и , то .

Следствие. Если - частные решения уравнения (26), то их линейная комбинация - тоже частное решение этого уравнения.

Теперь мы займемся определением размерности этого пространства и нахождением его базиса. Предварительно сформулируем и докажем несколько свойств определителя Вронского системы решений уравнения (26).

Теорема 15.5.4.2. Пусть - частные решения линейного однородного дифференциального уравнения. Если определитель Вронского этой системы функций равен нулю в некоторой точке , то система функций линейно зависима, и её определитель Вронского тождественно равен нулю на .

Док-во. Пусть . Тогда однородная система линейных алгебраических уравнений, для которой является определителем,

имеет нетривиальное решение относительно . Рассмотрим линейную комбинацию функций с этими коэффициентами : . Эта функция удовлетворяет уравнению (26) и, как следует из приведённой выше системы, имеет нулевые начальные условия в точке , т.е. является решением задачи Коши

,

Этой же задаче Коши удовлетворяет и функция , тождественно равная нулю на интервале . Вследствие единственности решения задачи Коши для любого . Таким образом, система функций линейно зависима на , и по Теореме 15.5.4 о вронскиане линейно зависимой системы её определитель Вронского тождественно равен нулю на .

Теорема 15.5.4.3. Если определитель Вронского системы частных решений линейного однородного дифференциального уравнения отличен от нуля в некоторой точке , то отличен от нуля в любой точке этого интервала.

Док-во легко проводится от противного. Если предположить, что в некоторой точке определитель Вронского равен нулю, то по предыдущей теореме он тождественно равен нулю на , что противоречит условию .

Содержание двух предыдущих теорем можно изложить так:

Теорема 15.5.4.4. Если - определитель Вронского системы частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, то либо на интервале (что означает линейную зависимость этих решений на ), либо в любой точке этого интервала (что означает линейную независимость этих решений на ).

15.5.5. Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения решений линейного однородного дифференциального уравнения. В этом разделе мы докажем, что базисом линейного пространства частных решений однородного уравнения может служить любой набор из его линейно независимых решений.

Опр. 15.5.5.1. фундаментальной системы решений. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка называется любая линейно независимая система его частных решений.

Теорема 15.5.5.1.1 о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:


Случайные файлы

Файл
47253.rtf
123328.rtf
116179.rtf
4291.rtf
20241-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.