Вся теория Гордина 1 курс (Приложения определенного интеграл)

Посмотреть архив целиком

13. Приложения определенного интеграл.

13.1. Некоторые кривые, которые будут встречаться в дальнейшем.


В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла, в основном, геометрические - к вычислению площадей и объёмов. Здесь мы приведём уравнения и изображения ряда кривых, которые с которыми будем работать дальше.

  1. Окружности, проходящие через начало системы координат. Уравнение окружности с центром

радиуса : . Если окружность проходит через начало координат, то , и уравнение принимает вид . В полярных координатах это уравнение выглядит так: . На рисунке справа приведены три такие окружности (), (), ().

  1. Спирали: спираль Архимеда . На рисунке изображены спирали и . Логарифмическая спираль . На рисунке изображены спирали и .

Г
иперболическая спираль
. На рисунке изображены спирали и . Стрелками на всех спиралях указано направление возрастания параметра .

  1. К
    ардиоида
    . Три таких кривых изображены на рисунке справа.

Декартово уравнение кардиоиды: ;

Параметрические уравнения кардиоиды:

Кардиоида - частный случай улитки Паскаля .





  1. Лемниската Бернулли .

П
одкоренное выражение неотрицательно при
и . Декартово уравнение лемнискаты .

Лемниската - геометрическое место точек таких, что , где и - фокусы лемнискаты.

На рисунке изображена лемниската с .


  1. Ч
    етырёхлепестковая роза
    . Декартово уравнение .

Каждая точка этой кривой - основание перпендикуляра , опущенного из начала координат на отрезок