Вся теория Гордина 1 курс (Основные теоремы дифференциального исчисления)

Посмотреть архив целиком

7. Основные теоремы дифференциального исчисления.

В этом и следующем разделах будет исследован вопрос: какую информацию о поведении функции f(x) можно получить, если известны производные этой функции?

7.1. Теорема Ферма.

7.1.1. Определение экстремума функции.

О
пр.7.1
. Пусть х0 - предельная точка области определения Х функции f(x), х0 Х. Точка х0 называется точкой максимума функции f(x) (или f(x) имеет максимум в точке х0), если в некоторой проколотой окрестности этой точки для любого хХ выполняется неравенство f(x)< f(х0).

Соответственно, точка х0 называется точкой минимума функции f(x) (или f(x) имеет минимум в точке х0), если в некоторой проколотой окрестности этой точки для любого хХ выполняется неравенство f(x)> f(х0).

Общее название для максимума и минимума функции - экстремум; точки, в которых достигается максимум или минимум - точки экстремума.

Эти определения носят локальный характер: значение функции в точке экстремума сравнивается с значениями в близко лежащих точках. На приведенном выше рисунке точки M1, M2 - точки максимума, точки m1, m2, m3 - точки минимума; при этом минимум функции в точке m1 больше, чем максимум в точке M2.

Пусть теперь область определения функции - отрезок [a,b]. Если начальная (a) или конечная (b) точки отрезка удовлетворяют определению точки экстремума, такой экстремум называется краевым (или односторонним). На приведённом рисунке точки aкр.1 и b = Мкр.2 - краевые точки максимума.

7.1.2. Теорема о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции. Пусть функция имеет в точке конечную производную . Тогда если , то возрастает в точке (т.е. для значений х из некоторой окрестности точки выполняются условия: если , то , если , то . Если , то убывает в точке (т.е. для значений х из некоторой окрестности точки выполняются условия: если , то , если , то ).

Если в формулировке теоремы иметь в виду одностороннюю производную, например, справа, то утверждение теоремы будет справедливо для значений х, находящихся справа от , т.е. для .

Док-во. По определению, . Рассмотрим случай . По теор.4.4.4 (о сохранении функцией знака предела) существует окрестность точки , в которой , что означает , т.е. возрастание функции f(x) в точке .

Случай рассматривается аналогично.

7.1.3. Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и во внутренней точке этого отрезка принимает экстремальное значение. Пусть в точке существует . Тогда .

Док-во от противного. Пусть - точка экстремума функции f(x), и пусть