Вся теория Гордина 1 курс (Исследование функций и построение их графиков)

Посмотреть архив целиком

8. Исследование функций и построение их графиков.

8.1. Условие постоянства функции.

Теор.8.1. Пусть функцияимеет производную в каждой точке интервала . Для того, чтобы эта функция была постоянной на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия для .

Док-во. Необходимость. Если f(x) постоянная на , то для .

Достаточность. Пусть для , . По формуле конечных приращений Лагранжа , т.е. значения функции в двух любых точках интервала совпадают, следовательно, .

8.2. Условия монотонности функции.

Теор.8.2.1. Условие (нестрогой) монотонности функции на интервале. Пусть функция имеет производную в каждой точке интервала . Для того, чтобы эта функция была монотонно возрастающей на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия для . Для того, чтобы функция была монотонно убывающей на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия для .

Док-во. Необходимость. Если f(x) монотонно возрастает, то для любых , при выполняется .

Достаточность. Пусть для , . По формуле конечных приращений Лагранжа , т.е. монотонно возрастает на .

Случай монотонного убывания рассматривается аналогично.

В случае, рассмотренном в Теор.8.2.1, мы не исключаем для функции возможность оставаться постоянной на некотором подынтервале ( и, как следствие, для её производной, быть равной нулю на этом подынтервале). Если эту возможность исключить, получим условия строгой монотонности функции на интервале:

Теор.8.2.2. Условие строгого возрастания функции на интервале. Пусть функция