Теория линейных пространств. (Теория линейных пространств.)

Посмотреть архив целиком

3. Теория линейных пространств.

3.1. Основные определения.

3.1.1. Определение линейного пространства. Множество L называется линейным пространством, если

на этом множестве определена операция сложения его элементов, т.е. каждой паре хL, уL его элементов ставится в соответствие элемент L, называемый суммой элементов х и у, и обозначаемый х + у;

определена операция умножения элементов L на числа, т.е. каждому хL и числу α ставится в соответствие элемент L, называемый произведением элемента х на α, и обозначаемый α х;

для этих операций выполняются следующие свойства (аксиомы операций):

1. х + у = у + х для ;

2. (х + у) + z = х + (у + z) для ;

3. в множестве L существует нулевой элемент, т.е. элемент 0L такой, что 0 + х = х + 0 = х для ;

4. для любого элемента хL существует противоположный элемент, т.е. элемент, обозначаемый (-х) такой, что х + (-х) = (-х) + х = 0;

5. для любого элемента хL его произведение на число 1 равно х: ;

6. α (х + у) = α х + α у для и любого числа α;

7. (α + β)х = αх + βх для и любых чисел α, β;

8. (α β)х = α (β х) для и любых чисел α, β.

Элементы линейного пространства называют просто векторами; если определяется операция умножения векторов на вещественные числа, то линейное пространство называется вещественным, если определяется операция умножения на комплексные числа, то пространство называется комплексным; мы будем рассматривать, в основном, действительные пространства.

Разностью х у элементов х и у линейного пространства называется сумма элемента х и элемента (– у), противоположного элементу у: х у = х + (– у).

Следствия из аксиом линейного пространства.

  1. Нулевой элемент 0 любого линейного пространства единственен.

Док-во. При доказательстве этого и других свойств линейного пространства мы должны оперировать только аксиомами, содержащимися в определении линейного пространства. Применим доказательство от противного. Предположим, что в линейном пространстве имеется два нуля: 01 и 02. Тогда 01 + 02 = 01 (т.к. 02 – нуль, аксиома 3); и 01 + 02 = 02 (т.к. 01 – нуль, та же аксиома), следовательно, 01 = 02.

2. Для любого элемента хL противоположный элемент -х определен единственным образом.

Док-во. От противного. Предположим, что существует два противоположных элемента:

у = -х и z = -х. Тогда y + x + z = (y + x) + z = 0 + z = z; с другой стороны y + x + z = y + (x + z) =

= y + 0 = y, следовательно, y = z. Использованы вторая и четвертая аксиомы.

3. 0·х = 0.

Док-во. 0· х = 0· х + 0 (3-ья аксиома)= 0·х + (х + (-х)) (4-ая аксиома) = (0· х + х) + (-х) (2-ая аксиома) = (0· х + 1· х) + (-х) (5-ая аксиома) = ((0 + 1) · х) + (-х) (7-ая аксиома) = (1· х) + (-х) =

= х + (-х) (5-ая аксиома) = 0 (3-ья аксиома).

4. - х = (-1) · х.

Док-во. (-1) · х + х = (-1) · х + 1 · х (5-ая аксиома) = (-1 + 1) · х (7-ая аксиома) = 0· х = 0 (предыдущее свойство).

Самостоятельно доказать, что 5. - (-х) = х; 6. α·0 = 0; 7. (х у) + у = х;

8. z = х у х = у + z.

3.2. Линейная зависимость векторов линейного пространства.

В этом разделе мы обобщим на случай общего линейного пространства понятия, изученные для геометрических векторов в разделе 1.4. Линейная зависимость и независимость системы векторов.

Опр. 3.2.1. Выражение , где коэффициенты , называется линейной комбинацией векторов х1, х2, …, хk.

Опр. 3.2.2. Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если все равны нулю.

Опр. 3.2.2. Линейная комбинация векторов называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля ().

Опр. 3.2.3. Система векторов х1, х2, …, хk называется линейно независимой, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору:

.

Опр. 3.2.4. Система векторов х1, х2, …, хk называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору:

.

Для линейно зависимых векторов справедливы теоремы:

Теорема 3.2.1 (Критерий линейной зависимости системы векторов линейного пространства). Для того, чтобы векторы х1, х2, …, хk были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих векторов был линейной комбинацией остальных.

Док-во. 1. Необходимость. Пусть векторы х1, х2, …, хk зависимы, т.е. существует набор чисел , из которых хотя бы одно не равно нулю, такой, что . Примем для простоты, что . Тогда из получим . Обозначим (), тогда последнее равенство примет вид , т.е. вектор х1 равен линейной комбинации остальных векторов.

2. Достаточность. Пусть один из векторов, для определенности, хk, есть линейная комбинация остальных, т.е. . Перепишем это равенство в виде . Мы получили нетривиальную (так как ) линейную комбинацию, равную 0, т.е. система векторов х1, х2, …, хk действительно линейно зависима.

Теорема 3.2.2. Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она является линейно зависимой.

Док-во. Пусть в системе векторов х1, х2, …, хk подсистема, состоящая из первых m (m<k) векторов, линейно зависима, т.е. при нетривиальном наборе коэффициентов . Тогда , что означает линейную зависимость всей системы х1, х2, …, хk, так как набор тоже нетривиален.

Теорема 3.2.3. Любая подсистема линейно независимой системы векторов является линейно независимой.

Эта теорема легко доказывается от противного на основе предыдущей теоремы.

Теорема 3.2.4. Система векторов, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой.

Док-во. Для системы 0, х2, …, хk существует нетривиальная нулевая линейная комбинация: .

3.3. Базис и размерность линейного пространства.

Разложение вектора по базису.

Опр. 3.3.1 размерности линейного пространства. Линейное пространство L называется n-мерным, если

1.В этом пространстве существует линейно независимая система е1, е2, …, еn, состоящая из n векторов;

2. Любая система, содержащая n +1 вектор, линейно зависима.

Обозначение размерности линейного пространства: dim L = n.

Опр. 3.3.2 базиса линейного пространства. Базисом n-мерного линейного пространства называется любая упорядоченная линейно независимая система векторов этого пространства, содержащая n векторов.

В нулевом пространстве О = {0} не существует линейно независимых систем векторов, поэтому размерность этого пространства задается отдельным определением:

Опр. 3.3.3. Размерность нуль-пространства равна нулю.

Опр. 3.3.4. Если для любого числа n в пространстве L существует n линейно независимых векторов, то пространство L называется бесконечномерным.

Мы будем работать, в основном, с конечномерными пространствами.

Пусть е1, е2, е3, …, еn – некоторый базис n-мерного линейного пространства L и х - произвольный вектор этого пространства. Тогда система векторов х, е1, е2, е3, …, еn линейно зависима (так как содержит n+1 вектор), следовательно, существует их нетривиальная нулевая линейная комбинация . Коэффициент в этой комбинации не может быть равен нулю (в этом случае система е1, е2, е3, …, еn была бы линейно зависимой), поэтому вектор х можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса: . Обозначим , тогда вектор х представится в виде х = х1е1+ х2 е2 + … + хn еn. Эта запись называется разложением вектора х по базису е1, е2, е3, …, еn; коэффициенты х1, х2, …, хn называются координатами вектора х в базисе е1, е2, е3, …, еn.

Разложение вектора по базису определяется однозначно. Действительно, предположим, что имеется два разложения вектора х по базису: х = х1 е1 + х2 е2 + … + хn еn и х = у1 е1 + у2 е2 + …

+ уn еn. Вычитая второе равенство из первого, получим 0 = (х1 - у1) е1 + (х2у2) е2 + … + (хn - уn) еn, откуда, вследствие линейной независимости векторов базиса, получаем х1 - у1 = 0, х2у2 = 0,…,

хn - уn = 0, или х1 = у1, х2 = у2, …, хn = уn. Мы доказали следующую теорему:

Теорема 3.3.1. Любой вектор n-мерного линейного пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов произвольного базиса этого пространства.

Запишем формулу разложения вектора по базису в матричной форме. Базис е1, е2, е3, …, еn представим в виде матрицы-строки: E = (е1, е2, е3, …, еn), координаты вектора – в виде матрицы-столбца: . Тогда х = х1 е1 + х2 е2 + … + хn еn = = E х.

Теорема 3.3.2. о линейных операциях над векторами в координатной форме. Координаты суммы векторов в любом базисе равны суммам координат слагаемых; координаты произведения вектора на число равны произведениям координат вектора на это число.

Док-во. Пусть х = е х, у = е у. Тогда х + у = е х + е у = е (х + у); λ х = λ(е х) = е х).

Примеры линейных пространств и базисов.

1. Нуль-пространство О = {0}, состоящее из одного нулевого вектора.

2. Векторные пространства V1, V2, V3 свободных векторов, расположенных, соответственно, на прямой, на плоскости, в пространстве. Эти пространства изучены в разделе 1. Алгебра векторов.

3. Пространство Rn n-мерных арифметических векторов. Элементами этого пространства являются упорядоченные наборы из n действительных чисел:

Rn = {(а1, а2, а3, …, аn)| а1, а2, а3, …, аn R}. Операции в этом пространстве выполняются покомпонентно: (а1, а2, а3, …, аn) + (b1, b2, b3, …, bn) = (а1 + b1, а2 + b2, а3 + b3, …, аn + bn);

α(а1, а2, а3, …, аn) = (αа1, αа2, αа3, …, αаn). Нулевой элемент: 0 = (0, 0, 0, …, 0); противоположный элемент: (-а1, -а2, -а3, …, -аn). Простейший базис в этом пространстве – набор из n векторов таких, что , i = 1, 2, …, n – называется стандартным.

4. Пространство R бесконечных последовательностей действительных чисел

R = {(а1, а2, а3, …, аn, …)| а1, а2, а3, …, аn, … R}. Операции, как и в предыдущем примере, определяются покомпонентно. Нулевой элемент: 0 = (0, 0, 0, …, 0, …); противоположный элемент:

(-а1, -а2, -а3, …, -аn, …). Это пространство бесконечномерно, так как для любого натурального числа n существует линейно независимая система, состоящая из n векторов: , i = 1, 2, …, n .

5. Множество Мmn матриц одинаковой размерности mn с действительными элементами и обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число. Размерность этого пространства равна mn. В качестве базиса может быть взят набор из mn матриц, в которых равны нулю все элементы, кроме элемента аij, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.

6. Линейными пространствами являются:

пространство С([a, b]) функций, непрерывных на отрезке [a, b];

пространство С1([a, b]) функций, непрерывных и имеющих непрерывную производную на отрезке [a, b]; … ;

пространство Сk([a, b]) функций, k-ые производные которых непрерывны на отрезке [a, b];

пространство Рn(х) = {pn(x) = a0xn + a1xn -1 + a2xn -2 + … + an -1x + an} многочленов степени не выше n.

Линейные операции на этих на этих пространствах определяются поточечно:

(f + g)(x) = f(x) + g(x); (α f )(x) = α f(x). Все эти пространства бесконечномерны: для любого заданного числа n можно найти n линейно независимых элементов (например, набор 1, х, х2, х3, …, хn-1).

3.4. Подпространства линейного пространства.

Линейная оболочка и ранг системы векторов линейного пространства.

Опр. 3.4.1 подпространства линейного пространства. Пусть L – линейное пространство, М – подмножество множества L. М называется подпространством линейного пространства L, если это множество само является линейным пространством относительно определенных в L операций сложения элементов и умножения элемента на число.

Для того, чтобы подмножество М линейного пространства L было подпространством этого пространства, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнуто относительно определенных в L линейных операций, т.е. чтобы из следовало, что и для любого числа . Выполнение аксиом, описывающих свойства этих операций, наследуется от пространства L. Подпространствами любого пространства L является нуль-пространство {0}и само пространство L; эти подпространства называются несобственными; все остальные подпространства называются собственными.

Примеры подпространств: пространства V1и V2 являются подпространствами пространства V3; пространство Рn(х) многочленов степени не выше n является подпространством пространства непрерывных функций; пространство решений однородной СЛАУ с n неизвестными является подпространством пространства Rn.

Опр. 3.4.2 линейной оболочки системы векторов линейного пространства. Пусть а1, а2, …, аk - система векторов линейного пространства L. Линейной оболочкой этих векторов называется множество их линейных комбинаций:

S(а1, а2, …, аk) = .

Теорема 3.4.1 (основное свойство линейной оболочки). Линейная оболочка системы векторов линейного пространства L является минимальным подпространством, содержащим эти векторы.

Опр. 3.4.3 ранга системы векторов линейного пространства. Пусть а1, а2, …, аk - система векторов линейного пространства L. Рангом r(а1, а2, …, аk) называется максимальное количество линейно независимых векторов этой системы.

Ранг системы векторов линейного пространства равен размерности линейной оболочки этой системы векторов.

Теорема 3.4.2 (необходимое и достаточное условие линейной независимости системы векторов линейного пространства). Система векторов а1, а2, …, аk линейно независима тогда и только тогда, когда ранг этой системы равен количеству векторов.

Док-во непосредственно следует из определения ранга системы векторов.

Теорема 3.4.3 (о ранге системы векторов линейного пространства). Ранг системы векторов линейного пространства равен рангу матрицы, столбцами или строками которой являются координаты этих векторов в произвольном базисе.

Док-во непосредственно следует из определений рангов матрицы и системы векторов.

Следствием из этих теорем является следующее утверждение.

Система векторов линейного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда ранг матрицы, столбцами или строками которой являются координаты этих векторов в произвольном базисе, равен количеству векторов этой системы.

3.5. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

3.5.1. Матрица перехода. Пусть в векторном n-мерном пространстве L даны два базиса:

E = (е1, е2, е3, …, еn) и E ’ = (е1, е2, е3, …, еn). Запишем разложения векторов базиса E ’ (нового базиса) в базисе E (старом базисе):