Билинейные формы (Билинейные формы)

Посмотреть архив целиком

3.4.1. Билинейные формы

О. Билинейной формой в n-мерном линейном пространстве L называется функция В(х, у) двух переменных х, уL, линейная по каждому из своих аргументов:

В1х1 + α2х2, у) = α1В(х1, у) + α2В(х2, у);

В(х, α1у1 + α2у2) = α1В(х, у1) + α2В(х, у2) для любых х, уL, α1, α2R.

Пример: бф в евклидовом пространстве обычно приводится скалярное произведение.

В матричной форме билинейная форма записывается как В(х, у) = хт В у; в евклидовом пространстве, где определено скалярное произведение, значение В(х, у) равно скалярному произведению векторов х и В(у): В(х, у) = хт В у = (х, В(у)).

Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса.

Т. Если билинейная форма имеет матрицу В в базисе Е, матрицу В’ в базисе E, то В’ = U т В U, где U - матрица перехода от E к E.

Док-во. Пусть х, уL, х, у – столбцы координат векторов х, у в базисе Е, х’, у’ – столбцы координат этих векторов в базисе Е, х = U х’, у = U у’, В(х, у) = хт В у = (Uх’)т В(Uу’) =

= х’ т U т В U у’ = х’ т (U т В U) у’ = х’ т В’ у’, следовательно, В’ = U т В U.

Симметрическая и кососимметрическая бф. Билинейная форма называется симметрической (кососимметрической), если В(х, у) = В(у, х) (В(х, у) = -В(у, х)) для любых векторов х, уL.

Теорема. Для того, чтобы бф В(х, у) была симметрической (кососимметрической), необх и достаточно, чтобы ее матрица в любом базисе была симметрической (кососимметрической).

3.4.2. Квадратичные формы

О. Пусть в n-мерном линейном пространстве L задана симметрическая билинейная форма В(х, у). Квадратичной формой на пространстве L называется функция f(х), определяемая равенством f(х) = В(х, х).

Как бф, квадратичная определяется значениями аij =В(еi, еj) на парах векторов базиса: f(х) = f(х1, х2, …, хn) = , при этом аij = аji. Числа аij называются коэффициентами квадратичной формы, симметрическая матрица А = (аij)nn называется матрицей квадратичной формы (в данном базисе).В матричном виде квадратичная форма имеет вид f(х) = В(х, х) = хт А х; в евклидовом пространстве значение f(х) равно скалярному произведению векторов х и А х: (х, у) = (х, Ах) = (Ах, х).

Матрицы квадратичной формы в базисах Е и Eсвязаны соотношением А’ = U т А U, где U - матрица перехода от E к E.

Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы в некотором базисе. Если ранг формы совпадает с размерностью пространства (RgА = n), форма называется невырожденной, если RgА < n, форму называют вырожденной

В этом определении ранг формы связан с фиксированным базисом. Однако, вследствие того, что ранг матрицы не меняется при ее умножении на невырожденную матрицу, RgА =

= Rg(U т А U), т.е. ранг квадратичной формы не зависит от выбора базиса

Канонический вид квадратичной формы. Квадратичная форма

= α1 x12 + … + αn xn2, не имеющая перекрестных произведений переменных вида хi хj (ij), называется формой канонического вида. Базис, в котором форма имеет канонический вид, называется каноническим. Матрица квадратичной формы канонического вида, диагональна, А = diag1, α2, …, αn), при этом ранг формы равен количеству отличных от нуля диагональных коэффициентов.


Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Метод Лагранжа заключается в последовательном выделении полных квадратов

Возможные осложнения: 1. на очередном этапе нет квадрата соответствующей переменной. Тогда можно начать процесс с х2:

2. В форме вообще отсутствуют квадраты переменных, например, f(х) = – 4 х1 х2. В этом случае делают вспомогательную замену переменных х1 = х1 - х2, х2 = х1 + х2, и f(х’) = - 4 х12 + 4 х22 и дальше по общему алгоритму.канонический вид квадратичной формы неоднозначен.

3.4.2.3.2. Приведение кф к каноническому виду ортогональным преобразованием. Матрица квадратичной формы симметрична. Приведение симметрической матрицы к диагональному виду ортогональным преобразованием, форма может быть приведена к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования A’ = U т A U. Порядок действий

1.Матрица квадратичной формы А

2.Характеристическое уравнение det(A λE) =0 имеет корни λ1 = число1 и λ2,3 = число2,3.

3.Корню λ1 соответствует нормированный собственный вектор е1.Ортонормируя В базисе е1, е2 е3 матрица диагональна: A’ = U т A U .Базис е1, е2 е3 является для квадратичной формы каноническим.

3.4.2.4. Закон инерции. Любая квадратичная форма может иметь различные канонические представления. количество ненулевых собственных значений матрицы формы,равно рангу формы. Одинаково не только общее число слагаемых, одинаковы и количества положительных и отрицательных коэффициентов.

Закон инерции. Пусть в различных базисах квадратичная форма имеет представления

f(x1, x2, …, xn) = α1 x12 + α2 x22 + … + αm xm2 ,

f(y1, y2, …, yn) = β1 y12 + β2 y22 + … + βm ym2 , (αi ≠ 0, βi ≠ 0, i = 1, 2, …, m, m = RgА).

Тогда количество положительных коэффициентов αi совпадает с количеством положительных коэффициентов βi; количество отрицательных коэффициентов αi совпадает с количеством отрицательных коэффициентов βi.

Знакоопределенность квадратичных форм.

О. Квадратичная форма f(х) называется положительно определенной, если ее значения положительны на любом ненулевом векторе: f(х) > 0 для .

Квадратичная форма f(х) называется положительно полуопределенной, если ее значения неотрицательны на любом векторе: f(х) ≥ 0 для , при этом для некоторого ненулевого вектора f(х) = 0.

Квадратичная форма f(х) называется отрицательно определенной, если ее значения отрицательны на любом ненулевом векторе: f(х) < 0 для .

Квадратичная форма f(х) называется отрицательно полуопределенной, если ее значения неположительны на любом векторе: f(х) ≤ 0 для , при этом для некоторого ненулевого вектора f(х) = 0.

Квадратичная форма f(х) называется знаконеопределенной (знакопеременной), если она принимает и положительные, и отрицательные значения.

Предположим, что ортогональным преобразованием квадратичная форма приведена к каноническому виду: f(x1, x2, …, xn) = λ1 x12 + λ 2 x22 + … + λ n xn2. Очевидно следующее утверждение:

Квадратичная форма положительно (отрицательно) определена тогда и только тогда, когда все коэффициенты λi (все собственные числа матрицы формы) положительны (отрицательны);

квадратичная форма положительно (отрицательно) полуопределена тогда и только тогда, когда все коэффициенты λi (все собственные числа матрицы формы) неотрицательны (неположительны), и некоторые из них равны нулю (матрица формы в этом случае вырождена);

квадратичная форма знакопеременна тогда и только тогда, когда среди коэффициентов λi есть и положительные, и отрицательные.

Критерий Сильвестра. Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы формы были положительны: Δ1 > 0, Δ2 > 0, …, Δn > 0.

Если изменить знаки всех коэффициентов, то положительно определенная форма станет отрицательно определенной, и наоборот. Миноры четных порядков при этом не изменятся, миноры нечетных порядков изменят знак, поэтому критерий Сильвестра для отрицательно определенной формы формулируется так: для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров матрицы формы чередовались: Δ1 < 0, Δ2 > 0, Δ3 < 0, Δ4 > 0, …, (-1) nΔn > 0.

Если для невырожденной квадратичной формы не выполнено ни одно из этих условий, форма знакопеременна.

3.4.3. Кривые и поверхности второго порядка.

О. Гиперповерхность второго порядка в n–мерном евклидовом пространстве Еn называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению , где aij, bi, c – действительные числа, А = (aij) – симметрическая матрица, х1, х2, …, хn – координаты.

В матричной форме это уравнение можно записать в виде хт А х +2 bт x + c = 0, с помощью скалярного произведения уравнение запишется в виде (Ах, х) + 2(b, х) + с = 0, где - матрица квадратичной формы (или самосопряженного линейного оператора), , .

При n = 2 уравнение a11 х2 + 2 a12 х у + a22 у2 + 2 b1 х + 2 b2 у + с =0 определяет кривую второго порядка, при n = 3 уравнение a11 х2 + a22 у2 + a33 z2 +2 a12 х у + 2 a13 х z + 2 a23 у z + 2 b1 х +

+ 2 b2 у +2 b3 z + с =0 определяет поверхность второго порядка.

Слагаемое хт А х называют квадратичной формой поверхности (или кривой).

Наша задача – найти декартову систему координат, в которой уравнение поверхности имеет наиболее простой (канонический) вид. Преобразования системы координат, с помощью которых решается эта задача, сводятся к их параллельному переносу на определенный вектор и поворотам вокруг осей, проходящих через начало координат. В общем случае (n > 3) в число этих преобразований, возможно, будет включено отражение системы координат относительно какой-либо новой координатной гиперплоскости. В случаях n = 2 и n = 3, которые нас в основном будут интересовать в дальнейшем, мы будем сохранять правую ориентацию базиса, поэтому преобразование отражения применяться не будет. При параллельном переносе системы координат на вектор координаты преобразуются по формулам х1’ = x1x1,0, х2’ = x2x2,0, …, хn’ = xnxn,0, квадратичная форма хт А х при этом, очевидно, не меняется. При повороте системы координат вокруг оси, проходящей через начало координат, ортонормированный базис (i, j, k при n = 3) переходит в ортонормированный базис е1, е2, е3, поэтому матрица U этого преобразования ортогональна (см. раздел 3.11.2. Свойства ортогональной матрицы). Согласно разделу 3.4.2.3.2., существует ортогональный базис, в котором матрица квадратичной формы имеет канонический вид. Это преобразование сохраняет ориентацию базиса, если det U = 1, и меняет на противоположную, если det U = -1. Изменяя в последнем случае направление одного из векторов нового базиса (состоящего из собственных векторов матрицы А) на противоположное, мы придем к правому базису. Координаты при этом преобразовании изменяются как х = U у. В новых координатах уравнение поверхности будет иметь вид . Выделяя полные квадраты по переменным у1, у2, …, уn, в координатах у1 = у1 + b1, у2 = у2 + b2, …, уn = уnbn, получим каноническое уравнение поверхности .


Случайные файлы

Файл
10231.rtf
18173.rtf
2191.rtf
26518-1.rtf
bacteriology war.doc




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.