Экзамен по линалу 1 курс 2 семестр 2014 год (Теория Линал)

Посмотреть архив целиком

1.Определение линейного пространства (ЛП). Аксиомы и примеры.

Множество элементов называют линейным пространством L, а сами элементы его векторами, если:

1. Определен закон, по которому 2-м векторам x,yL однозначно соответствует 3-ий вектор z, называемый их суммой: x+y=zL;

2. Определен закон, по которому вектору xL ставится в соответствие другой вектор, называемый произведением вектора на число: x =yL;

3. Для этих линейных операций (ЛО) выполняются аксиомы:

а) x+y=y+x;

б) (x+y)+z=x+(y+z);

в)xL0L: x+0=x;

г)xL(-x)L: x+(-x)=0L;

д) 1*x=x;

е)(x+y)= x+y;

ж)x)=(x;

з) x=xx.

Пример: 1) мн-во V3 является ЛП: xV3, yV3, x+y=zV3, x=z2V3, аксиомы совпадают со свойствами ЛО с геометрическими векторам. 2) мн-во C(a;b) всех функций y=f(x), непрерывных на [a;b] является ЛП: сумма непрерывных функций есть непрерывная функция, произведение непрерывной функции на число есть непрерывная функция.

1 ЛП 0;

2xL (-x);

3 Если вектор x противоположен вектору (-x), то вектор (-x) противоположен вектору x;

4 векторов а и b относительно x решение уравнения а+x=b;

5xL x*0=0L;

6 (-x), противоположный вектору x, равен произведению x на число -1: (-x) = (-1)x;

70L *0=0L.


2.Определение линейно зависимых и линейно независимых векторов ЛП. Критерий линейной зависимости (ЛЗ) и его следствия (с док-вом).

Система векторов ЛНЕЗ, если их линейная комбинация (ЛК) обращается в нуль-вектор ТОЛЬКО при всех коэффициентах равных нулю: только при 

Система векторов ЛЗ, если их линейная комбинация (ЛК) может обратиться в нуль-вектор при хотя бы одном коэффициенте, отличном от нуля: может при 

Критерий ЛЗ системы векторов: Система векторов является ЛЗ титт, когда хотя бы один из векторов можно представить ЛК остальных.

Следствия:

1 Система, содержащая нуль-вектор, является ЛЗ;

2 Система содержащая ЛЗ подсистему является ЛЗ;

3 Любая подсистема ЛНЕЗ системы является ЛНЕЗ.


3.Определение базиса и размерности ЛП. Теорема о единственности разложения вектора по базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису (с выводом). Определение матрицы перехода к новому базису.

Базисом ЛП называется такая упорядоченная система ЛНЕЗ векторов, что вектор ЛП может быть представлен как их ЛК: {ei,i=1,n}-базис, если {ei}-ЛНЕЗ и xL: x=x1e1+x2e2+…+xnen; (x1,x2,x3)-координаты вектора x в базисе.

Размерностью ЛП называется количество векторов в его базисе (max кол-во ЛНЕЗ векторов в ЛП).

Т: В ЛП разложение вектора по данному базису единственно.

Пусть в ЛП выбраны два базиса В1 и В2; базисный вектор В2 можно разложить по базису В1; Ei’=EiUij;

Uij - матрица перехода; Пусть в В1: x=x1e1+…+xnen, а в В2: x=x1e1’+…+xnen’, тогда EiXj=EiXj’ => EiXj=EiUijXj’ => X=UX’;

М. перехода – матрица, элементы которой есть координаты новых базисных в-ов, разложенных по старому В.

4.Подпространства линейного пространства, линейная оболочка (ЛО), примеры. Основное свойство линейной оболочки.

U называется линейным подпространством ЛП-ва V, если U является подмножеством V, и U является ЛП.

Пример: U={a1,a2,0| a1,a2R}; V={a1,a2,a3| a1,a2,a3R}; (a1,a2,0)+ (b1,b2,0)=( (a1+ b1),(a2+ b2),0)U; (a1,a2,0)*(a1,a2,0) => U-ЛПОДП;

Линейной оболочкой систем векторов называют всевозможные ЛК этих векторов: {1a1,…,nan,|1­,…,nR};

Span{ a1,…,an} является наименьшим ЛПОДП, содержащим вектора a1,…,an.


5.Определение евклидова пространства (ЕП), аксиомы, примеры.

ЛП называется Евклидовым, если задан закон, по которому каждым двум векторам пространства ставится в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением этих векторов: (x,y)=R.

Причем имеют место аксиомы:

1. (x,y)= (y,x);

2. (x+y,z)=(x,z)+(y,z);

3. (x,y)=(x,y);

4. (x,y)≥0, причем (x,x)=0 <=> x=0.

Пример: 1) : x=(x1,x2,…,xn); y=(y1,y2,…,yn); (x,y)=x1y1+…+xnyn; 2) C[a,b]; f,gC[a,b]; (f,g)= integral((f*g)dx,a


6.Норма вектора в ЕП, её свойства. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника

(с выводом).

Нормой вектора x называется число x=(x,x), удовлетворяющее следующим условиям: x≥0, т.к. (x,x)≥0 xV; x=|*x; Неравенство Коши-Буняковского: (x,y)2≤(x,x)*(y,y): При x=0 обе части неравенства равны нулю; Пусть x,y≠0, z=x-y, R; (z,z)=(x-y,x-y)≥0; (x-y,x-y)=(x,x)2-2(x,y)+(y,y)≥0; D≤0: 4(x,y)2-4(x,x)(y,y) ≤0; (x,y)2≤(x,x)(y,y); Неравенство треугольника: x+yx+y: Из Нер-ва К-Б (x,y) ≤x*y; x+y2=(x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y)≤x2+2x*y+y2=(x+y)2;x+yx+y;


7.Определение отрогональных векторов. Теорема о ЛНЕЗ ортогональной системы ненулевых векторов (с док-вом). Определение ортонормированного базиса. Вычисление скалярного произведения и нормы вектора в ортнорм. базисе. Координаты вектора в ортнорм. базисе. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. Теорема о существовании ортонорм. базиса ЛП (с док-вом).

Вектора ЕП ортогональны, если их скалярное произведение равно 0.

Т: Система попарно ортогональных ненулевых векторов ЛНЕЗ: {e1en} - Система ортоганальных ненулевых векторов; Пусть a1e1+…+anen=0; умножим на произвольный вектор этой системы ei: (a1e1+…+anen,ei)=(0, ei), (a1,…,an)R; Преобразуем: a1(e1,ei)+…+ai(ei,ei)+…+an(en,ei)=0; Все (en,ei) равны нулю, кроме одного, т.е. ai(ei,ei)=0, (ei,ei)≠0, ai=0 т.к. ei произвольный, то a1,…,an=0 => Система ЛНЕЗ.

Базис называется ортнормированным, если система векторов этого базиса ортогональна и норма каждого вектора равна 1: {ei, i=1,n}: (ei,ej)=[0,ij] или [1,i=j].

Пусть в ЕП задан ортонорм. базис: e=(e1en); x=x1e1+…+xnen, y=y1e1+…+ynen; x=e, y=e;

(x,y)=(,)=; (ei,ej) – единичная матрица; (x,y)=xTEy= xTy=x1y1+…+xnyn;

x=(x,x)=(x12+…+xn2)=( xTx); x=x1e1+…+xnen => (x,ei)=xi, i=1,…,n;

Прцесс ортогонализации Грамма-Шмидта:

g1=f1;

g2=f2-((f2,g1)/g12)g1;

g3=f3-((f3,g1)/g12)g1-((f3,g2)/g22)g2;

gn=fn-((fn,g1)/g12)g1-…-((fn,gn-1)/gn-12)gn-1.

Т: В конечномерном ЛП ортнорм. Базис: Пусть В={fi, i=1,…,n} – базис в ЛП, т.е. векторы fi ЛНЕЗ и ≠0; Проортогонализируем систему векторов и получим: {gi, i=1,…,n} - ортоганальная система, будет базисом (ЛНЕЗ системой), если gm0, 1≤mn; Допустим gm=0 => 0=fm-((fm,g1)/g12)* g1-…-((fm,gm-1)/gm-12)* gm-1;

т.к.gm-1-ЛК{fi,i=1,m-1}, то fm1f1+c2f2+…+cm-1fm-1, где ≠0, иначе fm=0, чего быть не может; подсистема {f1,f2,…,fm} - ЛЗ => сама система {f1,f2,…,fn} – ЛЗ, что противоречит условию, значит gm0 и {gi, i=1,…,n} – ортонормированный базис.

8.Определение линейного оператора (ЛО), примеры. Теорема о преобразовании координат вектора под действием ЛО (с док-ом). Определение матрицы ЛО в заданном базисе. Теорема о связи между матрицами одного и того же ЛО при переходе к новому базису (с док-вом). Теорема об инвариантности определителя матрицы относительно базиса (с док-вом).

Оператор A, действующий в ЛП, называется линейным, если 1) А(х+у)=А(х)+А(у); 2) А(*х)=*А(х), R.

Т: В n-мерном ЛП-ве с выбранным базисом матрица А: координаты х и его образ у под действием ЛО связаны соотношением: АХ=Y, где X и Y матрицы-столбцы из координат векторов х и у.

Пусть в ЛП выбран базис В={e1,…,en} и задан ЛО: Ах=у; х1е1+…+хnen, y=y1e1+…+ynen; y1e1…+ynen= А1е1+…+хnen); А1е1+…+хnen)=х1Ае1+…+хnАen=x1e1’+…+xnen’; каждый образ ej’ разложим по базису В: ej’=uj1e1+…+ujnen, j=1,n; y=x1(u11e1+…+u1nen)+…+xn(un1e1+…+unnen)=(x1u11+…+xnun1)e1+…+(x1u1n+…+xnnnn)en; y1=x1u11+…+xnun1; yn=x1u1n+…+xnnnn; Y=AX; A=uij=матрица ЛО-ра в базисе В.

Матрицей ЛО-а в выбранном базисе ЛП наз-ся матрица, элементами столбцов которой являются координаты соответсвующих образов базисных векторов, разложенных по этому базису.

Т: Если в n-мерном ЛП задан ЛО, то его матрицы в 2-х различных базисах связаны так, что Ae=U-1AbU, U-м.п. b->e.

Даны х и у, в старом базисе b: xb,yb, в новом базисе e: xe,ye; в матричной форме yb=Abxb; ye=Aeye; xb=Uxe; yb=Uye;

ye=U-1yb=U-1Abxb=(U-1AbU)xe; Ae= U-1AbU;

Т: Определитель матрицы ЛО не зависит от выбора базиса.

Пусть ЛО в базисе B1 имеет матрицу А, а в базисе В2 матрицу А’, тогда при В1->В2 А’=U-1AU => detА’=det(U-1AU)=

detU-1*detA*detU=detU-1*detU*detA=detE*detA=detA.


9.Действия над линейными операторами и их матрицами.

Пусть в ЛП действуют два ЛО А и В. Отображение ВА: L->L является композицией двух отображений: (ВА)х=В(Ах) – это линейное отображение.

Т: В ЛП действуют ЛО-ы А и В, а А и В – матрицы этих линейных операторов в некотором базисе b, тогда матрицей линейного оператора ВА в том же базисе является матрица ВА: (ВА)х=В(Ах)=В(bАх)= b(В(Ах))=b(BA)x;

Т: Если линейный оператор А имеет обратное отображение А-1, то это отображение линейно, причём матрица оператора А в некотором базисе b является обратной матрице оператора А-1 в том же базисе.

y1,y2: yi=Axi, i=1,2; A(x1+x2)= Ax1+Ax2=y1y2; A-1(y1+y2)=x1x2=A-1y1+A-1y2; (A*A-1)x=b(A*A-1)x=bx.

(A+B)x=Ax+Bx, xL; (A)x=(Ax), xL; (A+B) и (A) – линейные операторы;

T: Если А и В являются матрицами ЛО-ов А, ВL(L,L) в некотором базисе b, то ,А+В - матрица ЛО-а (А+В);

(A+B)x=Ax+Bx=bАх+bВх=b((А+В)х); (A)x=(Ax)=(bAx)= b((A)x) => (А+В) и (A) – матрицы ЛО-ов (A+B) и (A);




















10.Определение собственного значения и собственного вектора ЛО. Характеристический многочлен ЛО. Теорема о необходимом и достаточнм условии того, что некоторое действительное число является собственным значением ЛО (с док-вом). Теорема об инвариантности характеристического многочлена ЛО относительно базиса ЛП (с док-вом). Теорема о линейной независимости собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям (с док-вом). Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения. Теорема об этих кратностях. Теорема о матрице ЛО в базисе из собственных векторов (с док-вом).

Ненелевой вектор х в ЛП называют собственным вектором ЛО-а А:L->L, если для некоторого действительного числа выполняется соотношение Ах=хПри этом число называют собственным значением ЛО-а А.


Случайные файлы

Файл
95743.rtf
153479.rtf
135746.rtf
163693.rtf
17334-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.