Линал Теория по билетам (18)

Посмотреть архив целиком

Билет18

Теорема 4.5. Пусть собственные значения Л1….Лr линейного оператора A попарно различны. Тогда система соответствующих им собственных векторов e1…..er линейно независима.

Доказательство опирается на метод математической индукции, проводимый по количеству r векторов в системе. При r =1 утверждение теоремы верно, так как линейная независимость системы из одного вектора означает, что этот вектор ненулевой, а собственный вектор, согласно определению 4.3, является ненулевым.

Пусть утверждение верно при r = m, т.е. для произвольной системы из m собственных векторов e1, ..., em. Добавим к системе векторов еще один собственный вектор em+1, отвечающий собственному значению Лт+1, и докажем, что расширенная таким способом система векторов останется линейно независимой. Рассмотрим произвольную линейную комбинацию полученной системы собственных векторов и предположим, что она равна нулевому вектору:


a1e1 + ... + amem + am+1em+1 = 0. (4.7)


К равенству (4.7) применим линейный оператор A ив результате получим еще одно векторное равенство

a1Ae1 + ... + amAem + am+1Aem+1 = 0.

См фото



Случайные файлы

Файл
170190.rtf
150532.rtf
14385.rtf
183754.rtf
46362.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.