Линал Теория по билетам (3)

Посмотреть архив целиком

Билет №3

Определение 2.3. Линейное пространство E называют евклидовым пространством,

если в этом пространстве задано скалярное умножение, т.е. закон или правило, согласно которому каждой паре векторов x, y G E поставлено в соответствие действительное число (x, y), называемое скалярным произведением. При этом выполняются следующие аксио­мы скалярного умножения:

а) (x, y) = (y, x);

б) (x + y, z) = (x, z) + (y, z);

в) (Ax, y) = A (x, y), A G R;

г) (x, x) ^ 0, причем (x, x) = 0 лишь в случае, когда x = 0.


Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

  •  размерности 1 (вещественная прямая)

  •  размерности 2 (евклидова плоскость)

  •  размерности 3 (евклидово трехмерное пространство)

  • Евклидово пространство можно считать современной интерпретацией и обобщением (так как оно допускает размерности больше трех) классической (Евклидовой) геометрии.


Определение. Система ненулевых элементов xj ,... , xn евклидова

пространства называется ортонормированной системой, если все элементы этой системы попарно ортогональны и норма каждого элемента равна

единице, т.е. (xt,xj)=J1, \ j, i = 1,2,...,n, j = 1,2,...,n.

Теорема 2.5. Любая ортогональная(ортонормированная) система ненулевых векторов линейно независима.

Ч Рассмотрим произвольную ортогональную систему ненулевых векторов ei, ... , em. Предпо­ложим, что для некоторых действительных коэффициентов а1, ... , am выполняется равенство

a1e1 + ... + amem = 0. (2.7)

Умножим это равенство скалярно на какой-либо вектор e^:

(a1e1 + ... + a^e^ + ... + amem, ei) = (0, e^).

В силу свойства 2.3 скалярного произведения правая часть полученного равенства равна нулю, и мы, преобразуя левую часть в соответствии со свойством 2.4, получаем


a1 (e1, ei) + ... + ai (ei, ei) + ... + am (e1, ei) = 0.

Так как система векторов ортогональна, то все слагаемые слева, кроме одного, равны нулю, т. е.

ai (ei, ei) = 0. (2.8)

Так как вектор ei ненулевой, то (ei, ei) = 0 (аксиома 4 скалярного умножения). Поэтому из (2.8) следует, что ai = 0. Индекс i можно было выбирать произвольно, так что на самом деле все коэффициенты ai являются нулевыми. Мы доказали, что равенство (2.7) возможно лишь при нулевых коэффициентах, а это, согласно определению 1.2, означает, что система векторов e1, ..., em линейно независима.







Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.