Линал Теория по билетам (9)

Посмотреть архив целиком

Билет №9

Определение 2.5. Функцию, заданную на линейном пространстве L, которая каждому вектору x G L ставит в соответствие действительное число ||x||, называют нормой, если она удовлетворяет следующим аксиомам нормы:

а) ||x|| ^ 0, причем равенство ||x|| = 0 возможно только при x = 0;

б) | Ax| = | A| | x| , A G R;

в) ||x + y|| ^ ||x|| + ||y|| (неравенство треугольника).

Теорема 2.2. Для любых векторов x, y евклидова пространства E справедливо нера­венство Коши — Буняковского

2

(x, y) ^2 меньше или равно (x, x) (y, y). (2.3)


Ч При x = 0 обе части неравенства (2.3) равны нулю согласно свойству 2.3, значит, неравенство выполняется. Отбрасывая этот очевидный случай, будем считать, что x = 0. Для любого действительного числа A, в силу аксиомы г), выполняется неравенство

(Ax y, Ax y) больше или равно 0. (2.4)

Преобразуем левую часть неравенства, используя аксиомы и свойства скалярного умножения:

(Ax y, Ax y) = A (x, Ax y) (y, Ax y) = A2 (x, x) — 2A (x, y) + (y, y).

Мы получили квадратный трехчлен относительно параметра A (коэффициент (x, x) при A2 согласно аксиоме г) ненулевой, так как x = 0), неотрицательный при всех действительных значениях параметра. Следовательно, его дискриминант равен нулю или отрицательный, т.е.

2

(x, y) (x, x) (y, y) меньше или равно 0.


Неравенство треугольника



Теорема. 

Каковы бы не были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.







Случайные файлы

Файл
97086.rtf
130890.rtf
132569.rtf
60987.rtf
20528-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.