Линал Теория по билетам (5)

Посмотреть архив целиком

Билет №5

Определение 1.3. Базисом линейного пространства L называют любую упорядо­ченную систему векторов, для которой выполнены два условия:

  1. эта система векторов линейно независима;

  2. каждый вектор в линейном пространстве может быть представлен в виде линейной ком­бинации векторов этой системы.

Размерность линейного пространства 

     Линейное пространство V называется n-мерным (имеет размерность n), если в нем:

     1) существует n линейно независимых векторов;

  1. любая система n + 1 векторов линейно зависима.

Определение 1.5. Максимальное количество линейно независимых векторов в данном линейном пространстве называют размерностью линейного пространства.

Существуют линейные пространства, в которых можно выбрать линейно независимую си­стему, содержащую сколь угодно большое количество векторов. Такие линейные пространства называют бесконечномерными. В отличие от них, n-мерные линейные пространства на­зывают конечномерными. В этом курсе рассматриваются конечномерные линейные прост­ранства.

Теорема 1.2 (о единственности разложения). В линейном пространстве разложение любого вектора по данному базису единственно.

М Выберем в линейном пространстве L произвольный базис bi, bn и предположим, что вектор x имеет в этом базисе два разложения

x = xibi + ... + xnbn, x = xi(штрих) bi +xn(штрих)bn

Воспользуемся тем, что аксиомы линейного пространства позволяют преобразовывать ли­нейные комбинации так же, как и обычные алгебраические выражения. Вычитая из первого равенства второе почленно, получим

(xixi)bi + ... + (xnхПп = 0.

Так как базис — это линейно независимая система векторов, ее линейная комбинация равна 0, лишь если она тривиальная (см. определение 1.2). Значит, все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю: xixi = 0, ... , xn — хП = 0. Таким образом, xi = xi, ..., xn = хП и два разложения вектора x в базисе bi, ..., bn совпадают. ►

1.6. Линейные операции в координатной форме

Фиксация порядка векторов в базисе преследует еще одну цель — ввести матричные спо­собы записи векторных соотношений. Базис b1, bn в данном линейном пространстве L удобно записывать как матрицу-строку

b = (b1 b2 ... bn),

а координаты вектора x в этом базисе — как матрицу-столбец:

x1

x= ..

xn


Тогда разложение x = x1b1 + ... + xnbn вектора x по базису b1, ..., bn можно записать как произведение матрицы-строки на матрицу-столбец:

x = bx. ( Пример x = {—1; 2; 2} = i + 2j + 2k = (i j k))



Случайные файлы

Файл
46195.rtf
58287.rtf
Saints4.doc
19417.rtf
154723.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.