Линал Теория по билетам (21)

Посмотреть архив целиком

Билет 21.

Определение 2.2. Рангом системы векторов в линейном пространстве называют размерность линейной оболочки этой системы векторов.

Теорема 2.1. Ранг системы векторов а = 1, а2, ak) линейного пространства L равен:

а) максимальному количеству линейно независимых векторов в системе а;

б) рангу матрицы, составленной по столбцам из координат векторов а1, а2, ..., аk в каком-
либо
базисе линейного пространства L.

М Пусть g — некоторый базис в L. Составим по столбцам матрицу A из координат в базисе g векторов сц, i = 1, k. Линейные операции над векторами соответствуют таким же ли­нейным операциям над столбцами их координат. Поэтому, согласно следствию 1.1, векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда столбцы их координат линейно независимы. По теореме о базисном миноре ранг матрицы A равен максимальному количеству ее линей­но независимых столбцов. Это совпадает с максимальным количеством линейно независимых векторов в системе а. Следовательно, утверждения а) и б) теоремы эквивалентны.

Выберем в матрице A какой-либо базисный минор и зафиксируем столбцы этого минора ( базисные столбцы). Соответствующие им векторы будем называть базисными. По теореме о базисном миноре, во-первых, базисные столбцы линейно независимы и поэтому базисные век­торы образуют линейно независимую систему, а во-вторых, все остальные столбцы матрицы являются линейными комбинациями базисных и поэтому небазисные векторы системы выража­ются через базисные. Следовательно, любая линейная комбинация векторов системы а сводится к линейной комбинации системы базисных векторов, т. е. любой вектор линейной оболочки си­стемы векторов а выражается через базисные векторы. Значит, базисные векторы образуют базис линейной оболочки. Количество базисных векторов, с одной стороны, равно количеству базисных столбцов, т. е. рангу матрицы A, а с другой — совпадает с размерностью линейной оболочки, т.е. с рангом системы векторов а. ►

Замечание 2.1. Как следует из приведенного доказательства, столбцы любого базисного минора матрицы A отвечают набору векторов системы а, являющемуся базисом в span {а} — линейном подпространстве, порожденном этой системой векторов.



Случайные файлы

Файл
19797-1.rtf
72161.doc
68972.rtf
37947.doc
56257.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.