Расчёт параметров изгиба однопролётной балки со свободно опертым и упруго защемленным концами (124263)

Посмотреть архив целиком












Курсовая работа


Расчёт параметров изгиба однопролётной балки со свободно опёртым и упруго защемленным концами



Дано:

L = 6.8 м = 680 см.

q0 = 22.2 кгс/см

E = 210000 МПа

J = 5800 см4

æ = 0.93


1. Дифференциальное уравнение изгиба призматической балки имеет следующий вид:


EJWIV (x) = q (x) (1)


После четырёхкратного интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки (1) общий интеграл этого уравнения представляется выражением:


, (2)


в котором величины А, В, С, D являются постоянными интегрирования, определяемые исходя из граничных условий по концам рассматриваемой балки.

2. Граничные условия для параметров изгиба балки на её левом конце при значении х = 0 имеют вид:


W(0) = 0 (3)

WII (0) = 0 (4)


На правом конце балки при значении х = L граничные условия для параметров изгиба имеют вид:


W(L) = 0 (5)

(6)


3. В связи с тем, что в конкретном рассматриваемом примере на заданную однопролётную балку действует равномерно распределённая внешняя нагрузка интенсивностью q(x)= q0 = const, дифференциальное уравнение (1) изгиба призматической балки будет иметь вид:


EJWIV (x) = q 0, (7)


а выражение (2) для общего интеграла дифференциального уравнения (7) будет:


(8)


Для подчинения общего интеграла (8) дифференциального уравнения (7) граничным условиям (3), (4), (5). (6) необходимо предварительно получить выражения для первой и второй производных от общего интеграла (8), которые будут иметь соответственно вид:

(9)

(10)


Если подчинить выражение общего интеграла (8) граничному условию (3), то в результате получим, что

W(0) = D,

откуда следует, что величина D будет равна:

D = 0 (11)

Если воспользоваться граничным условием (4), то подставляя в выражение (10) значение х = 0, в результате получим, что

WII(0)=В,

откуда следует, что величина В будет равна:

В = 0 (12)

Подчиняя выражение общего интеграла (8) граничному условию (5), получим, что


(13)


Воспользовавшись выражениями (9) и (10), из граничного условия (6) получим следующую зависимость:


(14)


или


,

откуда после преобразований и приведения подобных членов, получается выражение вида


(15)


Выражения (14) и (15) в окончательном виде преобразуются к уравнениям относительно двух неизвестных величин А и С, которые образуют систему двух алгебраических уравнений:


(16)


Для решения системы уравнений (16) можно воспользоваться методом миноров.


(17)


значения неизвестных величин А и С будут определяться следующими формулами:


; (18)

, (19)


где:

Δ0 – определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестных величинах А и С:



ΔА - определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов правой части С1 и С2 и коэффициентов при неизвестной величине С:



ΔС - определитель системы уравнений (17), составляемый из коэффициентов при неизвестной величине А и из коэффициентов правой части С1 и С2:



Учитывая вышеприведенные формулы, получим следующие выражения:


,


которые после несложных преобразований примут вид:


Тогда, учитывая выражения (18) и (19), значения величин А и С будут определяться формулами:


(20)

(21)


в которых введены обозначения:


(22)

(23)


4. Общий интеграл (8) дифференциального уравнения (7), являющийся выражением, описывающим характер изменения прогиба W(x) по длине рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки, после подстановки значений величин А и С, запишется:


5. Общий интеграл приведенный к виду с безразмерными значениями переменного аргумента:


(24)


6. Значения изгибающих моментов M(x), действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются второй производной по прогибу балки, которая учитывая полученную формулу (24) преобразуется к виду:



или к выражению, содержащему «безразмерную» переменную величину, равную отношению «х/L»:


(25)


На основании формулы (25) может быть построена эпюра значений изгибающих моментов M(x).

Для определения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр необходимо в первую очередь определить значение координаты (xпр) расположения этого изгибающего момента Mпр. Для определения значения координаты (xпр) необходимо получить выражение для первой производной от выражения (25):


(26)


Тогда значение координаты (xпр), где изгибающий момент будет иметь экстремальное значение Mпр, определится из условия:

или, учитывая выражение (26), из следующего уравнения:


,


откуда


(xпр) (27)


Тогда экстремальное значение Mпр будет равно:


(28)


Наибольшее значение изгибающий момент M(x), исходя из характера его распределения по длине балки, может иметь или в районе упругой заделки при х = L (значение Mоп) или при x = xпр (значение Mпр).

Значение Mоп определим из выражения (25), подставляя в последнее значение координаты х = L:


(29)


7. Коэффициент опорной пары æ определяется отношением значения изгибающего момента, действующего в районе упругой заделки Mоп, к значению изгибающего момента в этом районе при условии абсолютно жёсткого защемления Mжз:


æ (30)


Значение изгибающего момента Mжз в районе упругой заделки в предположении его абсолютно жёсткого защемления определится из формулы (29), если в последней предположить, что коэффициент податливости заделки or равен нулю:


, (31)


тогда на основании формул (29), (30), (31) получим выражение, определяющее значение коэффициента опорной пары æ упруго защемлённого конца рассматриваемой статически неопределимой однопролётной балки:


æ (32)


Из формулы (32) может быть установлена зависимость коэффициента податливости упругой заделки or через значения коэффициента опорной пары æ:


(33)


Использование формулы (33) позволяет выразить значения коэффициентов АI и СI при постоянных интегрирования А и С, определяемых формулами (22) и (23), выражениями, содержащими только значения коэффициентов опорной пары æ:


(34)

(35)


Тогда экстремальное значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр и значения опорного изгибающего момента в районе упругого защемления Mоп будут определяться соответственно следующими выражениями через значения коэффициентов опорной пары æ:


(36)

(37)


А значение координаты (xпр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр в соответствии с формулой (27) определится выражением:


(38)


8. Значения перерезывающих сил N (x), действующих на балку в любом сечении по её длине, определяются известной зависимостью Журавского:


,


которая, учитывая формулу (25), для рассматриваемой однопролётной статически неопределимой балки преобразуется к виду:


(39)


Из формулы (39) следует, что перерезывающие силы распределяются по длине балки по линейному закону, то есть по прямой линии, поэтому для построения эпюры перерезывающих сил достаточно определить значения перерезывающей силы в двух крайних точках, а именно в начале координат:


(40)


и в районе упругой заделки (при x = L):


(41)


Откуда видно, что выполняется следующее очевидное соотношение



9. Расчет значений параметров изгиба однопролетной балки со свободно опертым и упруго защемленным концами.

В этом случае, исходя из формул (34) и (35)


;

,


а координата (xпр) расположения экстремального значения изгибающего момента в пролёте балки Mпр в соответствии с формулой (27) будет равна:



или в безразмерном относительном виде:


0.383


Экстремальное значение изгибающего момента в пролёте балки Mпр и значение опорного изгибающего момента в районе упругого защемления Mоп в соответствии с формулами (25) и (29) будут равны:


Mпр =M(260,8) - 755359 кг*с*см

1194621 кг*с*см


Определим значение перерезывающей силы в начале координат (на левой опоре) на основании формулы (40):


N(0) = - 5791 H.


На основании формулы (41) определим значение перерезывающей силы в районе упругого защемления балки (на правой опоре):


N(L) = 9305 H.


Отметим, что перерезывающая сила N в районе действия экстремального значения изгибающего момента Mпр в пролёте балки имеет нулевое значение:


,00 Н.


Случайные файлы

Файл
140602.doc
60356.rtf
10867-1.rtf
169644.rtf
ref-18958.doc




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.