Применение метода частотных круговых диаграмм (109026)

Посмотреть архив целиком

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана







Курсовая работа по курсу “Нелинейные САУ”

на

тему:

Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.







Выполнил: ст-т гр. АК4-81

Смык В.Л.

Руководитель: профессор

Хабаров В.С.




Реутов 1997 г.


Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.



На ранней стадии развития теории автоматического регулирования требование устойчивости работы системы было первым и обычно единственным и содержание большинства теоретических исследований сводилось к иследованию устойчивости.

Термин “устойчивость” настолько выразителен, что он сам за себя говорит”,-отмечают в начале изложения теории устойчивости Ж. Ла Салль и С. Лефшец [1]. Это вполне справедливо, но, несмотря на это, неточности и нелогичности можно встретить как раз не в математических, а в смысловых понятиях и терминах.

Устойчивостью любого явления в обиходе называю его способность достаточно длительно и с достаточной точностью сохронять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает быть самим сабой. Однако не только в обиходе, но и в научной терминалогии устойчивым называют не явление, а систему, в корой оно наблюдается, хотя это не оправдывает логически. Устойчивы ли физические тела - шар или куб? Такой вопрос будет иметь смысл, если речь идет о материале, из которого они сделаны. (Металлический шар

устойчив, шар из дыма нет.) Теорию управления интересует, однако, не эта прочнасная устойчивость. Подразумевается, что система управления как инженерная конструкция заведома устойчива, и в теории изучается устойчивость не самой системы, а ее состояний и функционирования. В одной и той же системе одни состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие не устойчивыми. Более того, одно и то же жвижение может быть устойчивым относительно одной переменной и неустойцивым относительно другой - это отмечал еще А.М. Ляпунов [2]. Вращение ротора турбины устойчиво по отношению к угловой скорости и неустойчиво относительно угла поворота вала. Движение ракеты устойчиво относительно траектории и неустойчиво по отношению к неподвижной системе координат. Поэтому нужно оговаривать, устойчивость какого состояния или движения в системе и относительно каких переменных изучается. Так же есть много методов для оценки самой устойчивости. Мы рассмотрим как можно оценить устойчивость системы с логическим алгоритмом управления методом круговых диаграмм.


Рассмотрим теоретическую часть и посмотрим что из себя представляет круговой критерий. Пусть дана система

.

x=Ax+b, =c’x, (1)


где  и  - в общем случае векторы (и, следовательно, b и с - прямоугольные матрицы), а матрица А не имеет собственных значений на линейной оси. Предположим , что для некоторого ,   

система (1), дополненая соотношением , асимптотически усойчива.

Для абсолютной экпоненциальной устойчивости системы (1) в классе М() нелинейностей ,t), удовлетворяющих условию


 t)/  (2)

достаточно, чтобы при всех   выполнялось соотношение


Re{[1+W(j)]}>0. (3)


Круговой критерий вытекает из квадратичного критерия для формы F(( Действительно, как было показано выше, форма F(j) имеет вид

F(jRe{[1+W(jW(j)]}||

Из этой формулы после сокращения на || следует (3).

В (3)    Случай, когда либо , либо  рассматривается аналогично.

Круговой критерий представляет собой распространение линейных частотных критериев устойчивости Найквиста, Михайлова и других на линейные системы с одним линейным или нелинейным, стационарным или нестационарным блоком. Он получается из (3), если вместо передаточной матрицы использовать частотную характеристику линейной части W(j).

Обозначая комплексную переменную W(j)=z, рассмотрим систему с одной нелинейностью, удовлетворяющей одному из следующих условий:

Re[(1+z(z)]0, если    (4)

Re[(1+z)z]0, если    (5)

Re[z(1+z)]0, если    (6)


Пусть С() - облость комплексной плоскости z, определяемая этими условиями. Граница В() области определяемая уравнениями получаемыми из (4)-(6) заменой знаков неравенств равенствами. Для (4) получаем окружность, проходящую через точки -1/, -1/ с центром на оси абсцисс, причем область С будет внутренностью этой окружности, если >0, т.е. если нелинейные характеристики лежат в 1 и 3 квадрантах, и ее внешностью, если сектор () захватывает два смежных квадранта. Если одна из границ сектора совпадает с осью абсцисс, т.е. если =0 или =0 , то область С будет полуплоскостью, а ее граница - вертикальной прямой, проходящей соответственно через -1/ или -1/. На рисунке 1 показаны границы в плоскости z для различного расположения секторов () в плоскости  . Там же изображены кривые W(j), >0 для неособого случая, расположенные так, что возможна абсолютная устойчивость. Однако только приемлимого расположения хаоактеристик W(j) еще недостаточно для суждения об абсолютной устойчивости : кроме этого, нужно еще потребовать, чтобы линейная замкнутоя система была асимптотически устойчивой.

Круговой критерий обеспечивает также абсолютную устойчивость для системы с любым блоком, вход  и выход  которого удовлетворяют для всех t неравенству

(-)(-)0 (7)


Рисунок 1, а.


Рассмотрим систему, приведенную на рис. 2.



А Х  У (P) Z

(-)

G(p) g



Рисунок 2.

Здесь W(p) - оператор линейной части системы, которая может иметь в общем случае следущий вид:


W(p)=;

(8)

W(p)=;


Алгоритм регулятора имеет вид:

y=x,

при gx>0

= (9)

- при gx<0,

g=(

В форме уравнений Коши рассматриваемая система имеет вид:

=,

=-, (10)

k при g>0

где =

- k при g<0,

g=c+; =.

Соответствие записей системы на рис. 2 достигается, когда при

W(p)= в уравнениях (10) имеем:

(11)


а при W(p)= имеем:

(12)

Причем для обоих случаев (11) и (12) имеет место соотношение

(13)

В соответствии с изложенным одинаково справедливо рассматривать в виде структурной схемы на рис. 2 с известным линейными операторами - и G(p) или в виде формы Коши (10).

Дополнительно отметим, что структурная интерпритация рассматриваемой системы на рис. 2 имеет еще одну структурную схему описания, приведенную на рис. 3.

|x|=c


 g y z

(-) x G(p) W(p)



Рисунок 3.


Это означает, что аналитической записи (10) соответствуют два структурных представления исследуемой СПС, причем второе позволяет рассматривать систему (10) как релейную систему с изменяемым ограничение, когда |x| - var.


Далее перейдем к анализу нашего метода.

Согласно частотной теоремы (10), для абсолютной устойчивости системы на рис. 3 лостаточно, чтобы при всех , изменяющихся от   до + , выполнялось соотношение:


Re{[1+W(j)]}>0,

а гадограф W(j)+1 при соответствовал критерию Найквиста.

Для исследуемой системы условие (3) удобнее записать в виде

(4) и (5).

На рис. 4 приведенны возможные нелинейные характеристики из класса М() и годографы W(j), расположенные таким образом, что согласно (4) и (5) возможна абсолютная устойчивость.

y ^


y=g ()


|x| y=g (при =0)

>

0



а” “б”











в” “г”

Рисунок 4.

В рассматриваемом случае (10) при


W(p)=, когда

W(p)= W(p)G(p), G(p)=p+1,

годограф W(j) системы на рис. 5.

j

W(j)





> <


=

=0


Рисунок 5.


В случае (10) справедливы графические формы на рис. 4 в,г, т.е. исследуемая система абсолютно устойчива в смысле кругового критерия (3) или (5) при

> (14)

Интересно заметить, что достаточные условия абсолютной устойчивости по Ляпунову

а > 0 , (t) > 0

и

a > c

для рассматриваемого случая совпадают с достаточными условиями абсолютной устойчивости, полученными для кругового критерия (14), если выполняется требование

(t) > 0 (15)

поскольку, согласно (11) и (13) a=a=.

Докажем это, используя условия существования скользящего режима

-k(t)=ck

т.е. подставим сюда вместо коэфициентов а,с, и k их выражения через

, , , тогда получим


-(t)=  (16)

Согласно рис. 5 и условия (16) получаем:

1) при = , (t)=0

2) при > , (t)>0

3) при < , (t)<0,

что и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим нашу систему с логическим алгоритмом управления, ее логическая схема приведена на рис. 6.


|x|=c


 g  z

(-) x G(p) (p)





Рисунок 6.


В данном случае считаем что:

- варьируемая величина,

=0.5,

=0.1 (анализ поведения системы при изменении данного параметра исследуется в работе ст-та Новикова, мы берем оптимальное значение),

=0.1,1 (коэффициент обратной связи),

=10,100.

Рассмотрим теперь саму функцию:


W(p)=G(p)W(p),

где G(p) - функция корректора, W(p)= (p)W(p), где

(p)=, а W(p) в свою очередь будет:


W(p)=,

где , соответственно вся функция имеет вид:


W(p)=;

Теперь заменяем p на j и имеем вид:


;


Для построения гадогрофа выведем формулы для P(), jQ() которые имеют вид:


P()=;


jQ(;

Графики можно посмотреть в приложении N 2.

Учитывая , что добротность  должна быть  0.50.7 мы можем определить добротность нашей системы, она примерно равна 0.5. Отсюдо видно, что из-за увеличения и ,  уменьшается, можно сделать вывод, что колебательность звена увеличиться. Это можно наблюдать на графиках 1.13 - 1.16 в приложении N 2.

Но это не подходит по требованию нашей задачи. Так как > , то можно сделать вывод, что коректор будет влиять только на высоких частотах, а на низких будет преобладать , что можно наблюдать на графиках 1.1 - 1.4. На графиках 1.5 - 1.8 можно наблюдать минемальные значения , это значит что, при этих значениях будет максимальные значения полки нечувствительности релейного элемента.

Минемальные значения полки нечуствительности можно наблюдать на графиках 1.9 - 1.12, особенно при минемальном значении .



Приложение N 1.

Программа для построения годографов на языке программирования

СИ ++.


Случайные файлы

Файл
135881.rtf
6944-1.rtf
104860.rtf
тво-62.doc
58967.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.