Электрон в слое (108611)

Посмотреть архив целиком

Министерство Образования, Молодежи и Спорта

Республики Молдова


Государственный университет Молдовы



















Курсовая Работа


Тема: Электрон в слое.










Работу выполнил

студент 3-го курса:

Радченко Андрей















Кишинёв 1997 г.

Микрочастица (электрон) в слое.


Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений.

Она состоит в следующем :

Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :

 2/(2m)2/x2  U0 , x < a

 

H =  2/(2m0)2/x2 , a < x < a



 2/(2m)2/x2  U0 , x > a


Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ;

m0 - эффективная масса электрона в области II.


Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :


 2I/x2  2m/2(E  U0)I = 0 , x  a



 2II/x2  2m0/2EI = 0 , a  x  a



 2III/x2  2m/2(E  U0)I = 0 , x  a




Область I :


Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :


I(x) = Aexp(nx) + Bexp(nx).


Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,


I(x) = Aexp(nx).


Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :


II(x) = Cexp(ikx) + Dexp(ikx).


Функция состояния для третьей области выглядит так :


III(x) = Fexp(nx).

Где

k = (2m0E/2)1/2

n = (2m(U0E)/2)1/2.


Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :

  • Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.

  • В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.

  • Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.


Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :

I(x=a) = II(x=a)

II(x=a) = III(x=a)

I(x=a)/m = II(x=a)/m0

II(x=a)/m0 = III(x=a)/m


А в наших определениях этих функций это выглядит так :


Aexp(na) = Cexp(ika) + Dexp(ika)

m1A nexp(na) = ik/m0(Cexp(ika)  Dexp(ika))

Cexp(ika) + Dexp(ika) = Fexp(na)

ik/m0(Cexp(ika)  Dexp(ika)) =  n/mFexp(na).


Теперь составим определитель :


|exp(na) exp(ika) exp(ika) 0 |

|m1nexp(na) 1/m0ikexp(ika) 1/m0ikexp(ika) 0 |

|0 exp(ika) exp(ika) exp(na) |

|0 1/m0ikexp(ika) 1/m0ikexp(ika) 1/mnexp(na)|


Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:


((n/m)2  (k/m0)2)Sin(2ka) + 2kn/(mm0)Cos(2ka) = 0.


Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.

Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.


C = Fexp(na){exp(ika) + exp(3ika) ( ik/m0  n/m)/(n/m + ik/m0)}

D = Cexp(2ika)( ik/m0  n/m)/(n/m + ik/m0)

A = exp(na)(Cexp(ika) + Dexp(ika)) .

Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :


A = RAF

C = RCF

D = RDF.

RA, RC, RD - известные постоянные.

Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.

Действительно :


I(x) = FRAexp(nx)

II(x) = F( RCexp(ikx) + RDexp(ikx)).

III(x) = Fexp(nx).

I1 + I2 + I3 = 1

Где

I1 = F2RA2exp(2nx)dx = F2RA2(2n)1exp(2nx) =

= F2RA2(2n)1exp(2na)

I2 = F2{ RC2dx + RD2dx + RCRD*exp(2ikx)dx +

+ RC*RDexp(2ikx)dx } = F2{ 2a(RC2 + RD2) +

((exp(2ika)  exp(2ika))RCRD*/(2ik) +

+ i((exp(2ika)  exp(2ika))RC*RD/(2k) }

I3 = F2exp(2nx)dx = F2(2n)1exp(2na)

F2 = { RA2(2n)1exp(2na) + 2a(RC2 + RD2) +

((exp(2ika)  exp(2ika))RCRD*/(2ik) +

+ i((exp(2ika)  exp(2ika))RC*RD/(2k) + (2n)1exp(2na) }1.

Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.

Электрон в слоях


Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.


То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.

Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:


U(x)=U(x+2a) (1)

Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.

Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:


2/x2  2m/2(E  U0) = 0


следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.

Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:


 = exp(i 2ak)


Тогда (x+2ma) = (x)m , где m=0, 1, 2,... (2)


Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U0) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси.


Рассмотрим область I:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:


2I/x2  2m2/2(E  U0)I = 0 , 0 > x > a


его решение выглядит просто:


I(x) = Aexp(nx) + Bexp(nx).


Где n = (2m2 (U0-E) /2)1/2


Рассмотрим область II:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:


2II/x2  2m1/2E II = 0 , a  x  0


его решение выглядит просто:


II(x) = Cexp(ipx) + Dexp(ipx).


Где p = (2m1E/2)1/2


Рассмотрим область III:


2III/x2  2m2/2(E  U0)III = 0 , 2a > x > a


его решение выглядит просто:


III(x) =  (Aexp(nx) + Bexp(nx)).

Запишем граничные условия:


I(x=0) = II(x=0)

II(x=a) = III(x=a)

I(x=0)/m = II(x=0)/m0

II(x=a)/m0 = III(x=a)/m


Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:


A+B=C+D

C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))

(A-B) n/m2 = (C-D) i p / m1

(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m1 = exp(i 2 a k) n/m2 (A exp(n a)-B exp(-n a))

Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :


|1 1 1 1 |

|exp(ik2ana) exp(ik2ana) exp(ipa) exp(ipa) |

|n/m2 n/m2 ip/m1 ip/m1 |

|n/m2exp(ik2ana) n/m2exp(ik2ana)  ip/m1exp(ipa) ip/m1exp(ipa) |


и приравняем его к нулю.

Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.


Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.



a=10; U=10; m1=4; m2=1

0.1135703312666857

0.6186359585387896

0.2019199605676639

0.3155348518478819

0.05047267055441365

1.263391478912778

0.4544326758658974

2.137353840637548

0.808172718170137

2.479933076698526

0.4544326758658974

6.168062551132728

5.611693924351967

1.820461802850339

1.529165865668653

1.023077302091622




a=10 U=10 m1=2 m2=1


Случайные файлы

Файл
99390.rtf
169360.rtf
KF-013.DOC
82772.rtf
185436.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.