Шпоры (в ворде) (Шпора)

Посмотреть архив целиком

1. Кручение упругого цилиндрического стержня кругового поперечного сечения. Вид деформации, при кот. внутр. усилия в попереч. сеч. приводятся только к крутящ. моменту. Гипотезы: 1. Поперечные сечения остаются плоскими. 2. расстояния между ними не меняются. 3. радиусы не искривляются. Деформац. круч. соотв. напряженному состоянию чистого сдвига.

2. Касательные напряжения, угол закручивания. Момент Mz вызывает касат. напряж. . Mz = ∫∫FdF, - радиус до участка сечения. Вывод ф-лы для : Рисунок: кусок цилиндра длиной dz закрепленный в стене, под моментом М, основание в стене – центр О, радиус, на нем точка А. Подвешенное основание с центр. О1, от него 2 радиуса, на одном точка А1 (как если бы без М), на другом точка А1', все точки А на расстоянии от центра. Угол закручивания d, угол между прямыми АА1 и АА1'. = A1A1' / AA1 = d / dz = (d / dz). = d / dz – относительный угол закручивания. = . Будем предполагать, что справедлив закон Гука: = G, G – модуль сдвига. Мz = ∫∫FG2dF = G∫∫F2dF = G Jp. ∫∫F2dF = Jp – полярный момент инерции [м4]. = Mz / GJp. = G = (Mz / Jp). Правило знаков: смотри на торец, если Mz против час. стрелки, то Mz > 0. Угол при кручении: d = dz = (Mz / GJp)dz. = ∫0l(Mz(z) / GJp(z))dz.

3. Расчеты на прочность и жесткость. Для кругового поперечного сечения Jp = d4 / 32. max = (Mz / Jp)max. max = d / 2. Wп = Jp / max = d3 / 16. Wп = d3 / 16 – полярный момент сопротивления. max = Mz / Wп. max []. [] = (0.5 … 0.6)[]. Для кольцевого сечения Jp = (d4 / 32)(1 – c4), c = do/d => Wp = (d3 / 16)(1 – c4). do – диаметр отверстия. Кроме расчета на прочность надо произвести расчет на жесткость. = Mz / GJp []. Как правило [] = (0,2 … 0,3)град / метр. Внимание! по ф-ле в рад / м.

4. Потенциальная энергия упругой деформации при кручении. Будем рассм. квазистатич. деформацию кручения, так что А = U. A = ½ Mz. Пусть Mzconst, GJpconst, тогда = Mz l / G Jp, A = ½ MzMzl / G Jp = = ½ Mz2 l / G Jp; A = ½ Mz2 / G Jp = U; в общем случае: U = ½ ∫0l (Mz2(z) dz / G Jp(z) ).






5. Расчет цилиндрических витых пружин растяжения (сжатия) на прочность. n – число витков, d – диаметр проволоки, D – диаметр пружины, - угол наклона витков в проекции. Предположим: d / D << 1, - мал (10 … 12), сила P приложена центрально. Qy, Mz – материал работает на кручение и на изгиб. Mz = ½ PD. max = Qy / F + Mz / Wp = 4P / d2 + ½ PD16 / d3 = 8PD / d3 + 4P / d2 = (8PD / d3)(1 + d / 2D). Итак: max = (8PD / d3)(1 + d / 2D) 8PD / d3. Нарисуй эпюру Qy и от Mz. Наиболее напряженная точка нах. у внутренн. пов-ти пружины. Расчет на прочность: max = 8PD / d3 [], [] = (0.5 … 0.6)[].

6. Формула осадки пружины - - на сколько укоротилась пружина [м]. U = ½ ∫0l (Mz2dz / G Jp) = = ( ½ )( Mz2 / G Jp ) ∫0ldz. ∫0ldz.= Dn. U = 4P2D3n / Gd4. A = ½ P. A = U => = 8PD3n / Gd4. c – жесткость, велич., обрат. осадке (или осевой податл.) при нагруж. пружины единич. силой. с = Gd4 / 8D3n при Р = 1.

7. Сочетание изгиба с кручением. Факторы: Мх, Му, Mz. x = Mx / Wx; y = My / Wy. = Mz / Wp. изг = Мизг / Wx, где Мизг = (Мх2 + Му2). Имеем упрощенное напряж. состояние. ~ = (0, 0, 0; 0, 0, ; 0, , ). Критерии прочности для упр. плоск. напр. сост.: система: 1,3 = /2 ((/2)2 + 2); 2 = 0. Критерий Сен-Венана: экв = (2 + 42) []. Губера-Мизеса экв = 2 + 32) []. Критерий хрупкого разрушения (критерий Мора): экв = (1 – m)/2 + ((1 + m)/2)(2 + 42) [p]. m = [p] / [c], p – растяжение, с – сжатие.

8. Связь между общим коэффициентом запаса прочности и коэффициентом запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям. Для определенности рассмотрим критерий Сен-Венана. Физическое условие прочности: экв = (2 + 42) = т. n = т / экв; 1/n = экв/т = (2/т2 + 42/т2). n = т/. n = т/. Имеем упощ. плоск. напряж. сост., тогда: т = т / 2. 1/n2 = 1/n2 + 1/n2 ф-ла Гафа-Полларда.















9. Расчеты по эквивалентному (приведенному) моменту. Это понятие вводится только для круговых и кольцевых поперечных сечений. Wx = d3 / 32; Wp = 2Wx; Wp = d3 / 16; изг = (Мх2 + Му2) / Wx. = Mz / 2Wx. c = do/d. Wx = (d3/32)(1 – c4); Wp = (d3/16)(1 – c4). Т. к. напряж. сост. упрощ. плоск., то для нахождения суммарн. напряж. необходимо исп. какой-либо критерий. экв = (2 + 42) = (Mx2 + My2 + Mz2) / / Wx = Mэквс-в/Wx. экв = Mэквс-в/Wx. Mэквс-в = х2 + Му2 + Mz2). Губ.–Мизеса: MэквГ.М. = х2 + Му2 + ¾ Mz2). Критерий Мора (хрупк. разрушение). MэквМора = ((1 – m)/2)(Mx2 + My2) + ((1 – m)/2)(Mx2 + My2 + Mz2).

10. Сложное сопротивление. – это возникновение в элементах конструкций комбинации 2-ух или более простейших видов деформации. Например: Мх 0, My 0 – косой изгиб; Nz 0, Мх 0, My 0 – внецентрнное растяжение-сжатие; Мх 0, Mz 0 – сочетание изгиба с кручением. При расчетах пользуются принципом независимости действия сил (принц. суперпозиции). Он не применим, если напряжения, вызванные одной из сил превышают предел пропорциональности пц; деформации не малы, т. е. необх. учитывать вызываемое ими перераспределение внутренних силовых факторов. 11. Косой изгиб. Рис.: срез балки прямоуг. сечения оси коорд: у ­, х ®, z – по оси. Р – сила, раскладывается на Рх и Ру. Угол между Ру и Р = j. Внешние силы должны быть перпенд. оси ОZ и пересекать ее. s = - (Mx / Jx)y – (My / Jy)x (знаки "-" для согласования с правилами знаков для s и Мх). Для нахождения опасн. точек необх. знать положение нейтральной линии. Рис.: тот же, но только плоскость среза, a - угол между осью х и нейтралью nn. (Mx / Jx)yo + (My / Jy)xo = 0. tga = ½yo / xo½ = ( My / Mx )( Jx / Jy ); tga = tgj ( Jx / Jy ). Тогда наибольшее сжимающее напряжение ½s½ = (Mx/Jx)y1 + (My/Jy)x1, где x1, y1 – коорд. опасной точки, а наиб. растяг. напряж. ½s½ = (Mx/Jx)y2 + (My/Jy)x2, где x2, y2 – коорд. другой опасной точки. Для поперечных сечений с выступающими углами, для котор. обе оси инерции явл. осями симметрии ½max= ± ( Mx / Wx ) ± ( My / Wy ). Знаки комбинируются по смыслу.







12. Проверка прочности при косом изгибе. Если сеч. имеет 2-е оси симметрии и выступающие угловые точки, то наиболее опасной будет та угловая точка, в котор. напряж. склад. по абс. величине. maxs = Mx / Wx + My / Wy £ [s]. Для хрупкого состояния надо 2 расчета – по растян. и по сжатым волокнам.

13. Определение перемещений при косом изгибе. Нагрузка разлагается по осям, перемещ. находят в отдельности от каждой составляющей, затем складывают: f = Ö ( u2 + v2 ).

14. Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия). Прогиб должен быть мал, чтобы пренебречь изменением направления действия продольной силы. sS = sNz + sMx + sMz. sS = Nz/F ± (Mx/Jx)y ± (My/Jy)x. Для симметричного отн. оси ОХ и ОУ сечения minmaxs = Nz / F ± Mx / Wx ± My / Wy. Ось n-n не проход. через центр тяжести попереч. сечения. Она может проход. даже вне сечения.

15. Внецентренное растяжение (сжатие). Рассмотрим случай, когда растяг. силы прилож. на одной из главных осей инерции. е – эксцентриситет. Nz = P; Mx = - Pe. Рисунок, эпюры. s = Nz / F + (Pe/Jx)y. сли сеч. симметрично, то minmaxs = Nz / F ± Mx / Wx = Nz / F ± Ре / Wx. Для пространственного случая minmaxs = Nz / F ± Реу / Wx ± Рех / Wу, где еу, ех – эксцентриситеты по осм у и х соответственно.

16. Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени. s(t) = sa sin wt. – вид ф-ии мало влияет на условия разрушения. s(t) = sm + sa sin wt – в общем случае. Предел выносливости sr – значение напряжения, при котор. не происх. усталост. разрушения в течении "базы испытания" – 107 циклов.

17. Типы циклов. Циклы бывают: - ассиметричн. со средним растяг. (сжимающ.) напряжением; - пульсационный (знакопостоянный) со средним растяг. (сжимающ.) напр.; - симметричный. Коэфф. асимметрии цикла: r = smax / smin. Самое опасное, когда r = -1.















18. Влияние различных факторов на величину предела выносливости. Кривая Вебера: зависимость s-1 (N), N – число циклов. Для многих материалов хар-ка полого снижается после … Для детали s-1д обычно в 2 – 6 раз ¯ чем s-1 для лаборат. образцов. s-1д = s-1 / К, К > 1. При растяж., сжатии или изгибе К = ( Кs / Кds + 1 / KFs - 1 )(1 / KUKA ). При кручении K = ( Kt / Kdt + 1 / KFt - 1 )( 1 / KU ). Ks - по таблицам, учитывает концентраторы напряжений. Кs = s-1 / s-1К, s-1К – с таким же конц. напряж., как у детали. Кds - масштабный фактор. С ростом размеров выносл. ¯ (до 150мм …, после …). KFs - учитывает шероховатость поверхн. (концентрат. напряж.). Для увелич. выносл.: - обдувка дробью, лучевые методы, поверхн. зак., хим.

19. Расчеты на прочность при регулярном многоцикловом нагружении. Пусть напряж. сост. – линейное. ns = sпред / sa, - КЗП по напряж. sпред – пред. разруш. напряж., sa – макс. ампл. напряж. nN = N / Nэ – КЗ по долговечности, N – число циклов до разруш., Nэ – рабочее число циклов. Для линейн. напряж. сост. r = -1: sпред = s-1д = s-1 / К, К – суммарный коэфф, все учитыв. (см ­). К зависит от размеров детали, котор. заранее не изв. Расчет а выносливость носит поверочный характер. ns = s-1 / Ksa ³ [n]. Для асимметричного цикла ф-ла Серенсена-Кинасошвили: ns = s-1 / (Ksa + Ysm), где Y = (2s-1 - sо) / sо – коэфф. влияния асимметрии цикла на предельн. амплит. sо – коэфф. для пульсационного цикла. При ассим. ц. возм. наступ. пред. сост., связ. с пред. текуч. (???). nt = st / smax = st / (sm + sa). n = max{ns, nt}.

20. Формула Гафа – Полларда. Рассм. слож. напряж. сост. (плоск.). Рис: квадрат, по противополож. граням s, по всем 4-ем - t. Такой вид при совмест. действ. изгиб. и круч. или растяж. (сжат.) + круч. Пусть t(t) и s(t) меняются синхр. и синфаз. (график 2 sin), тогда справедл. ф-ла: 1/n2 = 1/ns2 + 1/nt2 ¬ ф-ла Гафа-Полларда, где ns = s-1 / Ksa, nt = t-1 / Kta. Должно быть 1,4 £ n £ 1.7. Если не выполн., то расчет повторить.












21. Изгиб тонких пластин. Основные гипотезы. 1. Нормаль, провед. к серединн. пов-ти остается прямой и нормальной к ней и после деформ. 2. О ненадавливаемости слоев (x >> z, y >> z). 1 + 2 = гипот. о сохран. нормалей – гип. Кирхгоффа – Лява. 3. Материал пластины подч. закону Гука: x = (1 / )[x - y]; y = (1 / )[y - x]; x = (E /(1 - 2))(x + y); y = (E /(1 - 2))(y + x). Пусть нагрузка действ. перпенд. плоскости, т. е. Р = Р(х, у). h – толщина пластины, w – прогиб. 4. w / h << 1. Предельное значение w/h = 3/10, при этом погрешность ~ 5%. При этом можно полагать, что Nx = Ny = 0. Nxy = Nyx = 0.

22. Внутренние силовые факторы в сечениях пластин. Рис.: куб почти, вид на 3 грани. сторона левой – dx, сторона правой – dy, высота – h. Средняя точка на переднем ребре – у, на заднем (на просвет) х, на правом х1 / у1. На левой грани вверх Qy, на правой вниз Qx + (Qx/x)dx. На левой по часовой стрелке и в плоскости грани Мху, на правой против ч. с. Мух + (Мух/х)dx. На левой грани скручивает вверх момент Му, на правой также момент Мх + (Мх / х)dx. На верхней грани распред. нагрузка Р(х, у) действует .Другие сил. фактора. Справа – содержат / , слева – не содержат. Qx, Qy – попереч. силы, считаются 0, если вызыв. приращ. соотв. изгиб. мом-ов в положит. направл. Мх, Му – изгиб. моменты, инжекс – направл. оси. Мху, Мух – крутящ. мом-ты. индексы: 1 – по котор. действ., 2 – направл. нормали площ., по котор. действ.

23. Вывод ур-ия равновесия для элемента пластины. Для рис. (см. ) составим нетривиал. ур-ия равновесия статики (на рис. показ. все положит. направл. сил. факторов.). Qxdy – (Qx + (Qx/x)dx)dy + Qydx – - (Qy + (Qy/y)dy)dx + pdxdy = 0. … – (Qx/x)dxdy – (Qy/dy)dxdy + pdxdy = 0, т. к. dx, dy 0. Итак: Qx/x + Qy/y = p(1). dQy/dz = q, momy-y1 = 0, Mxdy – (Mx + (Mx/x)dx)dy + Mxydy – (Mxy + (Mxy/y)dy)dx + Qydxdy = 0. … - (Mx/x)dxdy – (Mxy/y)dydx + Qxdxdy = 0. => Mx/x + Mxy/y = Qx (2). My/y + Myx/x = Qy (3). Остальн. ур-ия обращ. в тождества. Необх. опред. 6 неизвестных: Qx, Qy, Mx, My, Mxy, Myx.







24. Связь между компонентами деформации и нормальным прогибом. В окрестности некотор. точки А ваделим некотор. эл-т АВСD. Рассмотрим деформации и перемещения некотор. слоя, паралл. серединной плоск-ти, и отстоящей от нее на расст. z. Рис. система ХОУ, положение без нагрузки квадратного элемента АВСD отн. точки А х по х и у по у, размеры dx, dy. Угол между сторонами АВ и АD изначально /2. После деформации точка А переместилась по х на u, по у на v, квадрат стал ромбом, сторона AD отклонилась на угол 1 , сторона АВ на угол 2 . Точка D сместилась по х на u + (u/x)dx, по у на v + (v/x)dx. Тока В по х сместилась на u + (u/y)dy, по у на v + (v/y)dy. Угол между АВ и АD стал /2 - ху. Qxu(x, y, z); Qyv(x, y, z); Qzw(x, y, z) – перемещ. = l / l => x = ((u + (u/x)dx) – u) / dx = u/x; y = ((v + (v/y)dy) – v) / dy = u/y; xy = 1 + 2 tg1 + tg2 = u/y + v/dx. Итак, x = u/x; y = u/y; xy = u/y + v/dx. Угол xy считается положит. при уменьшении прямого угла. Используя Кирхгоффа – Лява выразим u и v через прогиб w: Рис: сечение пластины, вид сбоку, 2-у мерный рис. Было: точка А на расстоянии z от сред. лин. После деформ. стало: каотинка ушла и . Средняя линия сместил. на w и поверн. на угол x = w/x. На этот же угол поверн. и нормаль серед. пов-ти, на котор. сидит точка А. Точка А сместилась на u . Деформац. малы, так, что u = - zx = - z(w/x). Аналог. по ои у получим v = - z(w/y). Использ. (4) получим: х = u/x = (/x)( - z(w/x)) = - z ((2w/x2) = æx – кривизна ). y = v/y = (/y)( - z(w/y)) = - z ((2w/y2) = æy – кривизна ). ху = u/y + v/dx = (/y)(- z(w/x)) + + (/x)( - z(w/y)) = - 2z((2w/xy) = æxy – интенсивность кривизны в направлении х, у). Итак, получены след. соотн.: х = - z(2w/x2); y = - z(2w/y2); ху = - 2z((2w/xy) (5), 2w/x2 = æx; 2w/y2 = æy; 2w/xy = æxy. Соотн. (5) и есть недостающ. соотн. для опред. внутр. сил. факторов.












25. Выражение внутренних силовых факторов через нормальный прогиб. Исп. обобщ. закон Гука: х = (E/(1 - 2))(x + y) = - (Ez / (1 - 2))[(2w/x2) + (2w/y2)]; y = (E/(1 - 2))(y + x) = = - (Ez / (1 - 2))[(2w/y2) + (2w/x2)]; xy = Gxy = Exy/2(1+) = - (Ez / (1 + ))(2w/xy) = (Ez / (1 + ))æxy. Запишем интегральные представл. для внутр. сил. факторов: Mx = - ∫-h/2h/2xzdz = (Ez / (1 - 2))[(2w/x2) + + (2w/y2)] -h/2h/2z2dz = - (Eh3/12(1-2))[(2w/x2)+(2w/y2)]; My = … - (Eh3/12(1-2))[(2w/y2)+(2w/x2)]; Обозначим D = Eh3/12(1 - 2) – цилиндрич. жесткость. Мху = - ∫-h/2h/2xyzdz = Eh3/12(1 - 2)(2w/xy). Итак, имеем: Mx = D [ ( 2w / x2 ) + ( 2w / y2 ) ] = Dx + æy); My = D ( æy + æx ). Мху = D(1 - )(2w/xy) = D(1 - xy = Мух, т. к. ху = ух.

26. Дифференциальное ур-е равновесия. Qx/x + Qy/y = р. Mx/x + Mxy/y = Qx. My/y + Myx/x = Qy … (/x)[Mx/x + Mxy/y] + (/y)[My/y + Myx/x] = p; (/x)[2w/x2 + 2w/y2] + (/y)[D(1 - - )2w/xy] = D{3w/x3 + (3w/xy2) + (1 - )(3w/xy2)} = … = D(/x)[2w/x2 + 2w/y2] = D(/x)w), - оператор Лапласа. Итак: Qx = D(/x)w), Qy = D(/y)w). Одно из основн. св-в оператора Лапласса заключ. в том, что он инвариантен относительно ортогонального преобразования переменных. (/x)[D(/x)w)] + (/y)[D(/y)w)] = D{(2/x2)(w) + (2/y2)(w)} = Dw = p. Итак: Dw = p – ур-е Софи-Жермен-Логранжа. w = p/D или 4w/x4 + 2(4w/x2y2) + 4w/y4 = p/D. p – интенсивность внешней поперечной нагрузки на единицу площади пластины.

27. Типичные краевые условия.

28. Нормальные и касательные напряжения. Касат. напряж: tyx = txy = - (Ez/(1 + m))(2w/xy) = - (Ez/(1 + + m))(Mxy/(1 - m))(12(1 - m2)/Eh3) = - 12Mxyz/h3. tyx = txy = - 12Mxyz/h3. Нормальн. и касат. напряж. достиг. макс. значений при z = ± h/2. Итак, maxminsx = sx½z = ± h/2 = ± 6Mx / h2. maxminsy = sy½z = ± h/2 = ± 6My / h2. maxmintxy = tyx½z = ± h/2 = ± 6Mxy / h2.







29. Осесимметричный изгиб круговых (кольцевых) пластин. DDw = p/D. Такая форма записи ур-ия изгиба пластин не зависит от выбора СК. Для круговых (кольцевых) в плане пластин удобнее использовать ПСК. O, X, Y, Z ® r, q. x = rcosq, y = rsinq, r2 = x2 + y2, q = arctg(y/x). Оператор Лапласа в ПСК имеет вид: D = 2/r2+(1/r)(/r)+(1/r2)(2/¶q2). (2/r2+(1/r)(/r)+(1/r2)(2/¶q2))(2w/r2+(1/r)(w/r)+(1/r2)(2w/¶q2)) = p/D. Осимметрич. изгиб пластин имеет место в том случае, когда внеш. нагрузка симметрич. отн. оси ОZ p(r, q) = p(r). Краевые условия симметричны. Тогда /¶q = 0 и D = d2/dr2 + (1/r)(d/dr). w = w(r), (d2/dr2 + (1/r)(d/dr))(d2w/dr2 + (1/r)(dw/dr) = p/D, => d4w/dr4 + (2/r)(d3w/dr3) – (1/r2)(d2w/dr2) + (1/r3)(dw/dr) = p/D.

30. Внутренние силовые факторы. Надо определить Qr - ?, Mr - ?, Mq - ? Рис.: сектор углом dq, на косых сторонах сила Qr, и по ним же момент Mr, изгибающий вверх, по другим сторонам Мq. В ПСК (r, q) ær = d2w/dr2; æq = (1/r)(dw/dr); ærq = 0 (ær – кривизна, ærq – интенсивность кривизны в направлении r, q). В ДСК Мх = Dx + mæy), в ПСК Mr = Dr + mæq). Тогда: Мr = D(d2w/dr2 + (m/r)(dw/dr)); Mq = D((1/r)(dw/dr) + + m(d2w/dr2)); Qr = D(d/dr)(Dw) = … Qq = 0, Mrq = 0.

31. Решение ур-ия осесимметричного изгиба круговых (кольцевых) пластин. DDw = p/D (*). w = w(r). w(r) = wo(r)общ + wч(r)частн. wo(r) = C1 + C2r2 + C3lnr + C4r2lnr. Если р = const, то wч(r) = pr4/64D. D = Eh3/12(1 - m2). Итак, w(r) = C1 + C2r2 + C3lnr + C4r2lnr + pr4/64D (если р = const).

32. Типичные краевые условия. 1. Жесткое защемление: при r = R, w = 0, dw/dr = 0. 2. шарнирное операние. w = 0, Mr = 0 при r = R. 3. Загруж. край пластинки. Опора при r = Ro. При r = R: Mr = m, Qr = q. 4. Свободный край: При r = R: Mr = 0, Qr = 0. Итак, получаем 2 условия, а нужно опред. 4 конст. Возможны 2 случая: а). Кольцевая пластина 2 условия с одной стороны и 2 с другой. б). Сплошная пластина, тогда С3 и С4 = 0.













33. Безмоментная теория тонкостенных оболочек вращения. Предпосылки. d - толщина стенки оболочки. d/R ~ 1/50 … 1/100. Рассматривают меридиональные и окружные сечения. Окружные проводят конической пов-тью. sq - окружн. напряж. sm – меридианальн. напряж. rq, rm – радиуса кривизны. sq, sm – главн. напряж., т. к. действ. по главн. площадкам.

34. Вывод ур-ия равновесия (ур-ия Лапласса). n® - нормаль к пов-ти. Изнутри оболочки – давление р. Размеры элемента dSm, dSq. dam, daq – уголы на элемент. Sn® = 0: 2smddSqsin(dam/2) + 2sqddSmsin(daq/2) - pdSmdSq = 0. Углы малы. d(sm(dam/dSm) + sq(daq/dSq) – p = 0. dam/dSm = 1/rm; daq/dSq = 1/rq => smrm + sqrq = p/d - ур-е Лапласса.

35. Определение меридиональных напряжений. Определяют, из ур-ий статики для отсеченной части оболочки в зависимости от содержания задачи.

36. Вычисление равнодействующей внешних сил для разлчных случаев нагружения оболочки.

37. Особенности применения критериев прочности к расчету тонкостенных оболочек вращения.

38. Осесимметричная деформация круговой цилиндрической оболочки. Гипотезы: 1. Материальный элемент, норм. к серединн. пов-ти оболочки остается нормальным к ней и после деформ. 2. Нормальные напряж. на площадках, ½½ серединной пов-ти, пренебрежимо малы. 3. Изменение длины нормального к серед. пов-ти эл-та пренебрежимо мало. 4. Нагрузка нормальна к пов-ти, и может меняться только вдоль оси.

























39. Ур-ия равновесия для элемента оболочки. Рис.: элемент оболочки длиной dx, угол на нее dq, радиус R, оси: х – вдоль оболочки, у – кольцевая ось, направл. по часовой стрелке. На прямых гранях напряжения Ny и момент My, на кривой гране слева Qx ­, справа Qx + dQx ¯. На кривой гране слева рястяг. сила Nx, Nx + dNx. На кривой гране слева момент Мх, на правой – Мх + dМх. Точка К – на заднем ребре на серединн. плоск., К1 – на правом ребре. Nx – продольное усилие, Ny – окружное усилие. Q – поперечная сила. Составим ур-ия статики. Sх = 0: - Nxdy + (Nx + dNx)dy = 0. p = p(x). dNx = 0. Nx = const. Qxdy – (Qx + dQx)dy – 2Nydxsin(dQ/2) + + pdxdy + l = 0 (?). dQxdx – Nydx(dy/R) + pdxdy = 0. dxdy ¹ 0. => - dQ/dx – Ny/R + p = 0. dQ/dx = p – Nx/R. SmomK-K1 = 0: Mxdy – (Mx + dMx)dy + Qdydx –(2Nysin(dq/2)dx(dy/2)+pdxdy(dx/2)очень малые, не рассм.) = 0. – dMxdy + Qdxdy = 0. dMx/dx = Q. Неизвестные: Nx, Ny, Q, Mx, My. 5 неизвестн. 3 уравн.

40. Связь между компонентами деформаций и нормальным прогибом. Рис.: вид сбоку на элемент оболочки. Ось снизу. длина его dx. под действием нагрузки от поднялся на w и повернулся на j. оболочка изогнулась, и угол на элемент стал dj (свеху). Нас интерес. w – нормальный прогиб серед. пов-ти. j = dw/dx. dj = (d/dx)(dw/dx)dx = (d2w/dx2)dx. Рис.: элемент длиной dx, с ¬-ой стороны жестко закреплен, средняя линия О-О, от нее на высоте z точка на краю элемента справа. После деформации ®­ точка переместилась на exdx, в то время как точка на средней линии переместилась на eоdx. Разница = -zdj. Правая грань поверн. на угол dj. Деформации малы. exdx = eodx - zdj = eodxz(d2w/dx2)dx. ex = eoz(d2w/dx2). Рассмотрим деформ. в окружном направл. Оболочка расширяется на прогиб w. Элемент dy, угол на него dj. eq = ((R + w)dq - - Rdq)/Rdq = w/R. eo = w/R.


















41. Выражение внутренних силовых факторов через нормальный прогиб. Напряж. состояние – плоское. x = (E/(1 - 2))(x + y) = (E/(1 - 2))[o – z(d2w/dx2) + (w/R)]. y = (E/(1 - 2))(y + x) = (E/(1 - 2))[w/R – - z(d2w/dx2) + o]. Рассмотрим напряж., действ. по граням эл-та: возьмем тонкий слой dz на расстоянии z от сред. линии, в нем х, у, создает силу Nx, Ny. Есть и мом. Мх, Му. Nx = ∫-h/2h/2xdz = (Eh/(1 - 2))[o + w/R]. Итак: Nx = (Eh/(1 - 2))[o + w/R]. Ny = (Eh/(1 - 2))[w/R + o]. Мх = - ∫-h/2h/2xzdz = D(d2w/dx2). Мy = - ∫-h/2h/2yzdz = D(d2w/dx2). Итак, Мх = D(d2w/dx2). Мy = D(d2w/dx2).

42. Дифф. ур-ние равновесия в перемещениях и его интегрирование. Используя ур-ия статики: dQ/dx = pNy/R; Q = dMx/dx; dQ/dx = (d/dx)(dMx/dx) = D(d4w/dx4; D(d4w/dx4) = pNy/R = p - Nx/R – (Eh/R2)w. В прав. часть вход. о – отн. лин. деформ. серединн. пов-ти. Исключ. ее след. образом: NxNy = (Eh/(1 - 2))(w/R)(2 – 1); т. к. Nxconst, то Ny = Nx + EHw/R. Итак: D(d4w/dx4) + (Ehw/R2) = p - (Nx/R). При R получ. D(d4w/dx4) = p. Решение ищем в виде w(r) = wo(r) + wч(r). Общее реш. однор. ур-ия. D(d4w/dx4) + (Ehw/R2) = 0 выглядит так: wo(x) = C1e-kxcoskx + C2e-kxsinkx + C3ekxcoskx + C4ekxsinkx. Частное реш. ищем в виде полинома той-же степени, т. е. не старше 3-ей. Тогда d4wч/dx4 = 0 и Ehwч/R2 = p - (Nx/R) => wч(х) = pR2/Eh - NxR/Eh.

43.Физический смысл частного решения. Nx – погонное усилие. m = Nx/h. Расчет оболочек по безмом. теории ведут по ур-м Лапласа: m/m + / = p/h. Для цилиндрич. оболочки m , = R; = pR/h. Вычисл. отн. деформ. оболоч. в окруж. направл. = (1 / E)( - m) = pR/Eh - NxR/Eh. Найдем радиальную деформ. оболочки: wбезм = R = pR2/Eh - NxR/Eh. Т. о. частн. реш. неод. ур-ия осесим. деформ. круг. цилиндр. оболоч. имеет смысл нормального прогиба оболочки, найд. по безмом. теории.

44. Типичные краевые условия. 1. Жесткое защемление: w = 0; dw/dx = 0. 2. Шарнирное операние: w = 0; d2w/dx2 = 0. 3. Край нагружен моментом m и силой q. d3w/dx3 = q/D; d2w/dx2 = - m / D. 4. Свободный край: d3w/dx3 = 0; d2w/dx2 = 0. Вывод: на каждом краю можно поставить 2 условия. Получим 4 условия для 4 const.





45. Определение внутренних силовых факторов и напряжений. Q = D(d3w/dx3), Nx = const. Ny = Eh(e/R) + + Nx. Mx = D(d2w/dx2). My = Mx. x = (E/(1 - 2))(o + (w/R) – z(d2w/dx2)). y = (E/(1 - 2))(o + w/R – - z(d2w/dx2)). Знаем, что: (E/(1 - 2))(o + (w/R)) = Nx/h; Mx = D(d2w/dx2) => (d2w/dx2) = Mx/D. (E/(1 - 2))(o + w/R) = Ny/h; My = Mx => (d2w/dx2) = Mx/D. (Ez/(1-2))(Mx12(1-2)/Eh3) = - 12Mxz/h3. Тогда: x = Nx/h – 12Mxz/h3; y = Nx/h – 12Myz/h3; maxminx = Nx/h 6Mx/h2; maxminy = Ny/h 6My/h2. экв [].

46. Теория краевого эффекта. Длинную оболочку можно разделить на участки краевого эффекта и безмоментнтн. теорию. k = 4(3(1 - 2))/(Rh). = /k – полуволна краев. эфф., k – волновое число. Терию надо выбирать так: h/R << 1 – безмоментн. теория, h/R ~ 1/10 теория краев. эфф. R ~ h – теория Ломе.

47. Осесимметричные задачи теории упругости. Рассм. ПСК (R, , z). Если деформ. не зависят от и от z – плоская осесимм. задача теор. упруг. Примеры: 1. Вращ. диск. 2. Толстостен. цилиндр под давл. Гипотезы: 1. Сплошности. 2. Изотроп. и однород. 3. Деформ. малы. 4. Справедлив закон Гука.

48. Вывод ур-ия равновесия. Рассм. диск – отрезок трубы, толщиной dz. r1, r2 – размеры. р1, р2 – внутр/внеш. давл. Элемент на r от центра, размер dr. (рис. такой). По прямым граням , по кривым r внутрь, r + dr – наружу. z = rz = r = 0 – имеем плоск. напряж. сост. , r – главные напряж. Угол на элемент от центра d. Длина внутр. дуги - rd, внеш. – (r + dr)d. Имеем: - r(rddz) + (r + dr)[(r + dr)ddz] - 2drdzsin(d/2) = 0. Углы малы. Получаем dr/dr + r/r = 0 (1). Рис: Элемент отдельно, без деформации расстояние до него r, размер dr, после внутр. грань сместилась на u, внешняя на u + du, размер стал dr + du. = l / l => r = ((dr + + du) – dr)/dr = du/dr. = ((u + du)d - dud)/rd = ((r + u)d - rd)/rd = u/r. Итак, r = du/dr; = u/r (2). Если исключ. из соотн. (2) радиал. перемещ. u, то получим: u = r, r = (d/dr)(r). Итак, (d/dr)(r) - r = 0.











49. Ур-ие равновесия в перемещениях, его интегрирование. Исключ. из ур-ия (1) (см ) напряж. Для этого восп. законом Гука: r = (E/(1 - 2))(r + ). = (E/(1 - 2))( + r). Подставим (2) (см ). r = (E/(1 - 2))(du/dr + u/r). = (E/(1 - 2))(u/r + du/dr). Это подставим в (1). Получим: d2u/dr2 + (1/r)(du/dr) – (1/r2) = 0. Перепишем его в виде: (d/dr)[(1/r)(d/dr)(ur)] = 0. Решение ищем в виде: u(r) = C1r + C2(1/r). Краевые условия: rr = r1 = - p1; rr = r2 = - p2. Запиши напряжения через ф-ию u. Решая получ. систему отн. С1 и С2 получаем: С1 = ((1 - )/E)(p1r12p2r22)/(r22r12). С2 = ((1 + )/E)(p1 – p2)r12r22/(r22 – - r12). Итак, u = ((1 - )/E)(p1r12 – p2r22)r / (r22 – r12) + ((1 + )/Er)(p1 – p2)r12r22/(r22 – r12). (1-я ф-ла Ломе). (см ).

50. Формулы Ламе. Подставляя константы С1 и С2 (см ) в ур-ия для r, , получаем: r, = (p1r12p2r22)/(r22r12) -,+ (p1p2)r12r22/(r22r12)r2 – 2-я ф-ла Ломе.

51. Применение формул Ламе для расчета цилиндров. Для открытого цилиндра z = 0, z = (1/E)[z - (r + + )] = - (/E)2(p1r12p2r22)/(r22r12) = const. Для закрытого цилиндра z = (p1r12p2r22)/(r22r12) = const. z = (1/E)[z - (r + )] = (1/E)[(p1r12 – p2r22)/(r22 – r12) - 2(p1r12 – p2r22)/(r22 – r12)] = const.

52. Ф-лы Мариотта. Рассм. тонкостенный цилиндрич. сосуд. Толщина стенки мала ( << r1). r2 = r1 + . Внутреннее давление р, наружного нет. r, = ((pr12/(r22 – r12))(1 -,+ r22/r2). Подставляем r2 = …, учитываем, что (r1 + )2 r12 + 2r1, получаем: = pr1/; z = pr1/2. => = 2z. r/ ~ /r1. Мариотт для /r1 1/10 (5%).























53. Температурные напряжения в толстостенных цилиндрах. Соотн. Дюамеля-Неймана: er = (1/E)[sr - - m(sq + sz)] + aT(r). eq = (1/E)[sq - m(sr + sz)] + aT(r). ez = (1/E)[sz - m(sr + sq)] + aT(r) = const. Разрешая эту систему, получаем: sr = (E/(1+m)(1-2m))[(1-m)er + m(eq + ez) – (1+m)aT(r)]. sq = (E/(1+m)(1-2m))[(1-m)eq + m(er + + ez) – (1+m)aT(r)]. sz = (E/(1+m)(1-2m))[(1-m)ez + m(er + eq) – (1+m)aT(r)]. Напряж. sr и sq удовл. условию dsr/dr + (sr - sq)/r = 0; er = du/dr; eq = u/r. Используя эти соотн. и подст. их в ур-ия равновес. в напряж-ях получим ур-е в перемещ.: d2u/dr2 + (1/r)(du/dr) – (1/r2)u = ((1+m)/(1-m))a(dT(r)/dr). Решение ищем в виде: u(r) = uo(r) + uч(r). Пусть р1 = р2 = 0, тогда sr½r=r1 = sr½r=r2 = 0 и решение имеет вид: u(r) = C1r + C2/r + (1/r)((1 + + m)/(1-m))ar1rT(r)rdr. Для определения постоянных С1 и С2 используем условия sr½r=r1 = sr½r=r2 = Nz = 0. Находим С1 и С2, подставляем их в выражения для напряжений и получаем: sr = (E/(1-m))[(- a/r2)∫r1rT(r)rdr + + ((r2r12)/(r22r12)r2)ar1r2T(r)rdr]. sq = (E/(1-m))[(a/r2)∫r1rT(r)rdr + ((r2 + r12)/(r22r12)r2)ar1r2T(r)rdr - aT(r)]. sz = (E/(1-m))[(2/(r22r12))ar1r2T(r)rdr + (1 - m)ez - aT(r)]. Предположим, что расширение цилиндра в продольн. направлении не стеснено. Тогда для " сечения Nz = 0 или Nz = ∫02pr1r2szrdrdq = 0. Отсюда ez = (2a/(r22r12))∫r1r2T(r)rdr и sz = (E/(1-m))[(2a/(r22r12))∫r1r2T(r)rdr - aT(r)]. Для Т = const sr = sq = sz = 0. Для логарифмич. закона распред. t°: T(r) = T2 + (T1T2)(ln(r2/r)/ln(r2/r1)). sr = - (Ea(T1–T2)/2(1-m)ln(r2/r1))[ln(r2/r1) + + (r12/(r22 – r12))(1 – r12/r2)ln(r2/r)]. sq = (Ea(T1–T2)/2(1-m)ln(r2/r1))[1 - ln(r2/r1) - (r12/(r22 – r12))(1 + r12/r2)ln(r2/r1)]. sz = (Ea(T1–T2)/2(1-m)ln(r2/r1))[1 - 2ln(r2/r1) - 2(r12/(r22 – r12))ln(r2/r1)] (Nz = 0). Т1 – внутри, Т2 – снаружи.

54. Понятие об устойчивости форм равновесия. Рисунок с шариками и буграми. Устойчивое положение: малые возмущения – малые отклонения от ПР. Безразличн. положение, неуст. равн. Т. Лагранжа-Дирхле: необх. и достат. услов. устойч. форм. равн. системы явл. достиж. потенц. энерг. изолир. мин. Рис.:½стержень, закреплен снизу. сверху нагрузка Р. 3 вар.: Р < Ркр, Р = Ркр, Р > Ркр. А также арка, консольн. балка. Потеря уст-ти 1-ого рода: несоотв. формы, котор. приним. стержень после потери уст. формам, соотв. прилож. силам.





55. Устойчивость упругого сжатого стержня. Рис.: горизонт. стержень, сжимается нагр. Р. Длина l, прогиб u(z), EJx = const. Найдем условия. при котор. реш. дифф. ур-ия прогиба стержня не явл. единств. (возможно несколько форм равн.). Ур-ие d2u/dz2 = Mx/EJx явл. приближ. Пусть все силы консервативны, т.е. не меняются не по направл., не по мод. Мx = - pu(z). d2u/dz2 = - pu/EJx, k2 = p/EJ. d2u/dz2 + k2u = 0. u(0) = u(l) = 0. u(z) = 0 соотв. прямолин. форме равн. стержня. Найдем нетривиал. реш. u(z) = C1sinkz + C2coskz. 1. u(0) = 0 => C2 = 0. 2. u(l) = 0 => C1sinkl = 0. Т. к. С1 ¹ 0, то sinkl = 0 => kl = np (n = 1, 2, …). k2 = p/EJ => ф-ла Эйлера (см ¯).

56. Ф-ла Эйлера. Ркр = n2p2EJ/l2, (n = 1, 2, 3…). Корни ур-ия sinkl = 0 дают те значения силы Р, при котор. $ формы равновес. стержня с искривл. осью. u(z) = sin(npz/l). Ф-ла Эйлера позвол. найти те значения силы Р, для котор. $ нетривиал. реш. исходн. ур-я (критические силы). Физ. смысл (реальн.) имеет только n = 1. Ркр = p2EJ/l2 (продольный изгиб). Т. к. исходное ур-ие явл. приближ. то при больших деформациях его решение неверно. Рассмотрим прогиб в середине стержня u(l/2) = f. f = (2Ö2l/p)Ö(P/Pэ – 1), где Рэ = p2EJ/l2. При Р » Ркр наблюдается увеличение податливости в отн. попереч. изгиба. (2 близких потенц. возм. сост.).

57. Зависимость критической силы от условия закрепления стержня. Общее выражение: Ркр = p2EJ/(ml)2. m - коэфф. приведения длины, показ. во сколько раз след. увеличить длину шарнирно-оперт. стержня, чтобы Ркр для него = Ркр стержня длиной l при данн. гранич. услов. Для одного защемленного конца и для другого свободного m = 2, для другого шарнирно-опертого конца m = 0,7.

58. Границы применимости ф-лы Эйлера. Можно применять, пока действует закон Гука. sкр = Ркр/F = = p2EJ/((ml)2F) = … = p2E/l2, l = ml/i, i = Ö(J/F) – радиус инерции [м, см]. Предельный случай, когда sкр = sпц. l = ml/i, lпред = (E/sпц). Ф-лой Э. можно польз., когда l > lпред. Е » 200ГПа, sпц » 200МПа. lпред » 100. График: lОs. Ф-ла Э. (график как С/х). Реальн. эксперим. идет ниже и пересек. ось ординат в точке 400МПа.

59. Расчеты на устойчивость за пределами упругости. Ф-ла Ясинского: sкр = а - bl. a и b можно найти из условий стыковки. Для ст3 а = 210МПа, b = 1,14МПа. Эта ф-ла – это лишь аппроксимация эксперим. данных. Есть и другие, напрмер sкр = а - bl2 (Джонсона), или sкр = а/(1 + bl2)…




60. Коэффициент снижения допускаемых напряжений. Запишем условие устойчивости: s = Р/F £ [s]y, где [s]y = sкр/[n]y. [n]y > [n]. Т. к. необх. учит. начальн. неправильности, эксцентриситет прилож. нагрузки и другие фактоы, то [sy] = sпр/[n]y - sт[n]/sт[n] = sкр/sт – [n]/[n]y - sт/[n] = j(l)[s]. j(l) = [n]/[n]y. Итак, [sy] = j(l)[s]; s = P/F £ [s]y. j - коэфф. сниж. допуск. напряж. j зависит только от величины гибкости l = ml/i, i = Ö(J/F). j = j(l). Выбирается из таблиц. При проектировочн. расчете принимается j1 = 0,5 … 0,6. F1 ³ P/j[s] ® сечение. По F1 нах. истинн. значение j1'. j2 = ½ (j1 + j1' )…

61. Рациональные формы поперечных сечений сжатых стержней. Обладают наибольшим моментом инерции при заданной площади поперечного сечения, будучи равноустойчивыми отн. обех осей. lх = lу. То mх = mу, Jx = Jy. Наиболее рациональн. сечение – кольцевое. Квазирациональное – квадратное. Модуль Юнга (Е) – единств. мех. хар-ка, определяющ. сопрот. стержня при потери устойчивости. Е = (190 – 210)МПа.



= Mz/Wp Wp = Jp/(d/2) = d3/16 = d/dl = Mz/GJp Jp = d4/32 = Mzl/GJp M = N/ M = 30N/no d 316Mz/[] = r = r/l Jp/R = Wp = MzR/Jp Jp = (D4/32)[1 – d4/D4] Wp = (D3/16)[1 – d4/D4] MX = - Mxy/Jx MУ = - Myx/Jy Jx = bh3/12 b – ширина = Mxy/Jx + Myx/Jy = 0 – ур-е нейтральной линии. MэвкМ = x2 + My2 + 0.75Mz2) Mэквсенв = х2 + Му2 + Mz2) Mизг = (Mx2 + My2) изг = Mx/Wx + My/Wy r, = (p1r12p2r22)/(r22r12) -,+ ((p1p2)r12r22/(r22r12))(1/r2) z = (p1r12p2r22)/(r22r12) r = - (ET)/(2(1-)ln(r2/r1))[ln(r2/r) + (r12/(r22r12))(1 – r22/r2)ln(r2/r1)] = -(ET) / (2(1-) ln(r2/r1)) [1- 2ln(r2/r)-(r12/(r22r2))(1+r22/r2)ln(r2/r1)] z = -(ET) / (2(1- )ln(r2 / r1 ) )[1-2ln(r2 / r) - (2r12 /(r22r2 ) )ln( r2 / r1 )] pк = (D/2r2)/((1/E1)((r12 + r22)/(r22r12)-m1)+(1/E2)((r22 + r32)/(r32r22) + m2)) – контактн. давл. R =smin/smax (R-1) n = nsnt/Ö(ns2+ nt2) nR=s-1/(Ksa+Ysm) n-1 = s-1/Ksa K = s-1 / s-1д w(r) = C1+C2r2+C3lnr+C4r2lnr + pr4/64D D=Eh3/12(1-m2) Mr=D(d2w/dr2 + (m/r)(dw/dr)) Mq=D((1/r)(dw/dr)+ m(d2w/dr2)) Q = D(d/dr)(Dw) D = d2/dr2 + (1/r)(d/dr) sr(r) = 6Mr(r) / h2 sq(r) = 6Mq(r) / h2 -для круг. пластины w(x) = C1e kx coskx + C2ekx sinkx + poR2 / Eh Ny = Ehw/R + mNx Mx = D(d2w/dx2) My=mMx sx = Nx/h±6Mx/h2 sy = Ny / h ± 6My / h2 dw/dx = - kekx [(C1C2)coskx + (C1 + C2)sinkx)] d2w/dx2 = 2k2e kx [C1sinkxC2coskx] d3w/dx3 = 2k3ekx [(C1 + C2)coskx – (C1C2)sinkx] - для оболочки l = 8PD3n / Gd4 c = Gd4/8D3n при Р = 1 - для пружины


Случайные файлы

Файл
314.rtf
17956-1.rtf
132474.rtf
25379-1.rtf
61253.rtf