Лекции в ворде (ЛК1)

Посмотреть архив целиком

1 Движение электрона в кристалле.

1.1Уравнение Шрёдингера, волновая функция

Все окружающие нас тела состоят из элементарных частиц (атомов) или из групп определенным образом объединенных атомов (молекул). Любая молекула состоит из совокупности электронов и атомных ядер, движение и взаимное расположение которых определяют значение внутренней энергии молекулы.

В 1924 г. французский физик Луи де Бройль предположил, что любая частица, в том числе и электрон, обладает волновыми свойствами с длиной волны , где h = 6,62·10-34 Дж·с=4,5·10-15 эВ·с – постоянная Планка; – импульс электрона. Такую волну стали называть волной де Бройля.

Можно ввести понятие волнового числа, то есть числа волн, укладывающихся на 2 см: =, где = = 1,054·10-34 Дж с – приведенная постоянная Планка или постоянная Дирака.

Тогда можно связать импульс с волновым вектором: , что и сделал де Бройль. В этом случае называют квазиимпульсом электрона.

Кинетическая энергия свободного электрона ,

где =9,1 10-31 кг – масса свободного электрона.

В 1926 г. австрийский физик Эрвин Шрёдингер вывел уравнение для волн де Бройля. Волна, связанная с отдельной частицей описывается волновой функцией , зависящей от координат и времени.

Ĥ (1.1)

В левой части – скорость изменения волновой функции, умноженная на мнимую единицу () и приведенную постоянную Планка. В правой – оператор Гамильтона Ĥ, действующий на волновую функцию. Оператор полной энергии (гамильтониан) Ĥ получается из выражения

, (1.2)

(1.3)

где E – собственная энергия частицы (системы частиц).

Энергия частицы массой имеет две составляющие – кинетическую и потенциальную:

. (1.4)

Кинетическая энергия =. Если заменить в правой части уравнения величину импульса на так называемый оператор импульса, , где - оператор Гамильтона или набла- оператор, получим: , , .

Тогда уравнение (1.2) можно переписать в виде:

, (1.5)

- уравнение Шредингера для свободной частицы. Здесь - оператор Лапласа.

В любой момент времени t, состояние квантовой частицы задается двумя величинами: координатами (радиусом-вектором) и импульсом:

. (1.6)

Учитывая, что = - энергия свободного электрона, - циклическая частота, - период; можно записать уравнение для волновой функции в следующем виде:

, (1.7)

Это - комплексная синусоида. Групповая скорость волнового пакета .

Если нам известна волновая функция (1.6), то из нее можно получить энергию, продифференцировав по времени один раз и квадрат импульса продифференцировав по координате дважды:

, (1.8)

В самом деле, из найденных формул выразим и E,