Ответы на экзамен (ответы)

Посмотреть архив целиком

1 Понятие числового ряда и его сходимости. Необходимое условие сходимости

Сумма ряда, или бесконечная сумма, или ряд, — математическое выражение, позволяющее записать бесконечное количество слагаемых и подразумевающее значение их суммы, которое можно получить в предельном смысле. Если значение суммы (в предельном смысле) существует, то говорят, что ряд сходится. В противном случае говорят, что он расходится.

Пусть a1,a2…an… - последовательность чисел. Число Sn=a1+a2+….+a3 называется частичной суммой ряда . Сумма ряда – предел частичных сумм если он существует или конечен. Таким образом, если существует число S = , то в этом случае пишут = S. Необходимое условие сходимости -= 0

Доказательство. Если , то и , но , следовательно .


2 Признаки сравнения для рядов с положительными членами

Пусть даны два положительных ряда и , для которых, хотя бы начиная с некоторого места , выполняется неравенство .Тогда: если сходится ряд (В), то сходится ряд (А); если расходится ряд (А), то расходится ряд (В).

Другими словами, из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего ряда, из расходимости меньшего ряда следует расходимость большего ряда. Сразу отметим, что из расходимости большего ряда, как и из сходимости меньшего ряда, никаких выводов о сходимости второго ряда сделать нельзя.

Доказательство этого утверждения непосредственно следует из признака сходимости положительных рядов: если сходится больший ряд, то последовательность его частичных сумм ограничена, следовательно, ограничена последовательность частичных сумм меньшего ряда, следовательно, меньший ряд сходится; если расходится меньший ряд, то последовательность его частичных сумм неограничена, следовательно, неограничена последовательность частичных сумм большего ряда, следовательно, больший ряд расходится.


3 Радикальный признак Коши и признак Даламбера

Признак сходимости Коши (радикальный). Пусть для положительного ряда существует . Тогда

если q<1, то ряд сходится,

если q >1, то ряд расходится,

если q=1, то ряд может и сходиться, и расходиться.

Доказательство. 1. Пусть <1. Возьмём . .

Если q<1, то число . Итак, при . Прогрессия сходится, так как р<1, поэтому сходится, поэтому сходится.

2. Пусть >1. Возьмём . .

Если q>1, то число . Итак, при . Прогрессия расходится, так как р>1, поэтому расходится, поэтому расходится.

3. Чтобы убедиться, что в случае q =1 мы не можем сделать вывод ни о сходимости, ни о расходимости ряда, рассмотрим два примера: и . Первый из этих рядов сходится, второй расходится, но в обоих случаях q=1

Признак сходимости Даламбера. Пусть для положительного ряда существует . Тогда

если q<1, то ряд сходится,

если q >1, то ряд расходится,

если q=1, то ряд может и сходиться, и расходиться.


4 Интегральный признак коши. Оценка остатка

Пусть члены положительного числового ряда являются значениями непрерывной монотонно убывающей неотрицательной функции при натуральных значениях аргумента: Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.


Доказательство. Обозначим . Согдасно геометрическому смыслу определённого интеграла, это площадь криволинейной трапеции под кривой у=