Министерство образования Российской Федерации

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Н.Э. БАУМАНА








Домашнее задание №3:

Электромагнитная индукция.

Работа и энергия в электростатическом и магнитном полях.




Вариант №16

















Москва

Условие:

 По двум гладким медным шинам скользит перемычка массы M, закон движения которой задан Y = f(t). Сопротивление перемычки равно , поперечное сечение S, концентрация носителей заряда (электронов) в проводнике перемычки равна . Сверху шины замкнуты электрической цепью, состоящей из конденсатора ёмкости С. Расстояние между шинами l. Система находится в однородном переменном магнитном поле с индукцией B(t), перпендикулярном плоскости, в которой перемещается перемычка. Сопротивление шин, скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Ток через конденсатор в начальный момент времени равен 0.

Найти:


  1. закон изменения тока I(t);

  2. максимальное значение тока Imax;

  3. закон изменения проекций силы Лоренца на ось X (Fлx) и на ось Y (Fлy), действующей на электрон;

  4. закон изменения напряженности электрического поля в перемычке E(t);

  5. силу F(t), действующую на перемычку, необходимую для обеспечения заданного закона движения.


Установить связь между силой Ампера, действующей на перемычку, и силой Лоренца, действующей на все электроны в перемычке.

Построить зависимости тока через перемычку , силы Ампера .


Закон движения перемычки для всех вариантов Y = a; Закон изменения магнитного поля для чётных вариантов ; константы a, c считать известными; n = , m = 2n.



Решение:



  1. Выберем направление единичной нормали так, чтобы . Тогда поток будет положительным.


Поток вектора сквозь поверхность, натянутую на контур A*CB*A*:


(1)


ЭДС индукции, обусловленная изменением этого тока:


- закон Фарадея (2)


А так же:


- уравнение Кирхгофа (3)


То есть:


(4)


или


Подставляем в (2) известные значения: - = =





  1. Тогда имеем неоднородное ДУ ( из (2) и (4) ):


(5)


Решать (5) будем методом Лагранжа:


- решим соответствующее однородное ДУ



- интегрируем


q = ; q =


Вводим замену: пусть u =


Тогда q =


И соответственно


Подставляем в (5): +



u = + const


Тогда q = const*


Значение const определим из начального условия q(0) = 0:


const = -

Тогда q = (-


И окончательно:


I = = (-(m+n) (6)




Теперь подставим известные нам значения:


I = (-() = (- (7)


  1. Найдём максимальное значение тока


() = 0


- логарифмируем



t* = CR(ln - это и будет искомая точка максимума.



= (- = (8)


  1. Динамическое уравнение движения перемычки в проекции на ось Y:


M (9)


где I = I(t); = ;

- проекция на Ось Y управляющей силы:


(- =

(- (10)


  1. Поток тока в перемычке:


(11)


Напряжённость электрического поля в перемычке:


- из закон Ома в дифференциальной форме (12)


где - удельное сопротивление медной перемычки


Тогда (13)


(- (14)


  1. Средняя скорость направленного движения электрических зарядов, образующих электрический ток:


(15)


= (16)


где |e| - модуль заряда электрона; – объёмная концентрация носителей заряда


Полная скорость носителей заряда (электронов):


+ (17)


где - скорость движения перемычки


Сила Лоренца, действующая на один заряд:


= + (18)


где =


Т.к. векторы первого и второго слагаемых взаимно перпендикулярны, то:


|| = 1.6*a c = 1.6* (19)


|| =1.6*c = (-

= (- (20)


  1. Сила Лоренца, действующая на все носители зарядов


= (21)




Сила Ампера, действующая на перемычку:


= Il (22)


(- (



( (


= 0


- логарифмируем


t* = - искомая точка максимума



  1. С помощью этих данных теперь мы можем определить связь между и:


(23)


  1. Расчёт функций для графиков:


= (24)


= (25)














  1. График:








Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.