Министерство образования Российской Федерации

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Н.Э. БАУМАНА








Домашнее задание №1:

Электростатика



Вариант №16



















Москва

Условие:

 Цилиндрический бесконечно длинный диэлектрический конденсатор заряжен до разности потенциалов U и имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R0 и R соответственно. Диэлектрическая проницаемость меняется между обкладками по закону f(r).

.


  Построить графически распределение модулей векторов электрического поля Е, поляризованности Р и электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность связанных зарядов на внутренней
'1 и внешней '2 поверхностях диэлектрика, распределение объёмной плотности связанных зарядов ’(r), максимальную напряжённость электрического поля Е и ёмкость конденсатора на единицу длины.



Функция = f(r) имеет вид: =

Значения параметров n = 4 и R0/R = 2/1.





















Решение:

  1. С учётом заданного соотношения R0/R = 2/1 получим r):

r)= = (0)

  1. По т. Гаусса:

s – площадь поверхности, q – сторонний заряд; т.к. S – площадь поверхности цилиндра произвольного радиуса, R<=r<=, то S=2πrh, где h – длина цилиндра.

Так же q = h, где - линейная плотность заряда.

Получаем: (1)

Связь напряжённости и электрического смещения для изотропных и линейных диэлектриков имеет вид:

Где - диэлектрическая проницаемость, - электрическая постоянная

Тогда

Подставляя (0) получим:

E(r) = (2)

  1. Зная E(r), можно определить

Предполагается, что внутренняя обкладка имеет заряд q > 0, а путь интегрирования может быть любым. Выбираем путь, направленный от внутренней к внешней пластине (по оси r). Получим положительный результат, т.к. потенциал отрицательной пластины ниже потенциала положительной.

U = (R) - (2R) = - = = + = + = = (ln2 + ) => = (3)

  1. Подставив (3) в (1) и (2) получим:

D(r) = E(r) =

  1. Найдём поляризованность среды :

=

= -1 =

P(r) = (4)

  1. Найдём поверхностные плотности зарядов:

где - угол между вектором и нормалью к поверхности .

Для внутренней обкладки π => cos=-1

Для внешней обкладки =0 => cos=1

У внутренней обкладки r = R:

= -

У внешней обкладки r = 2R:

= = 0

  1. Для нахождения объёмной плотности связанных зарядов ’ внутри слоя диэлектрика

воспользуемся т. Гаусса для поля вектора :



Вектор зависит только от r, перейдём для удобства в цилиндрические координаты:

div = (

div =

Подставляя (4) получим:

= = - => =

  1. Определим

E’(r) = = = 0

= 0 => r = R

Это меньше нашего R.

= E(2R) =

  1. Найдём ёмкость конденсатора на единицу длины:

  1. Используя полученные выше данные, найдём:

=

=

=

  1. Проверка расчётов:

а) q’ = + ds

q’ = + = + ds = - = - = 0 => значения E(r), D(r), P(r), ,

, найдены верно.

б) =

где w – объёмная плотность энергии w =

= 2πrh = +) = =(ln2+) = = => значение найдено верно.

  1. Используя п.4-п.5 построим графики:

А так же график зависимостей (п.10):








Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.