Билеты. (Первый семестр) (Билеты)

Посмотреть архив целиком

БИЛЕТ 1. Точные грани числовых множеств. Теорема существования (без доказательства)


Точной верхней гранью числового множества () называется число, такое что:

1) S- верхняя граница ( ).

2) Для любого положительного числа в множестве M можно найти число , такое что

>-. ( >-)


Точной нижней гранью числового множества () называется число, такое что:

1) S- нижняя граница ( ).

2) Для любого положительного числа в множестве M можно найти число , такое что

+. ( +)


Теорема существования: Пусть , , ограниченное сверху (снизу), тогда существует точная верхняя (нижняя) грань.
















































БИЛЕТ 2. Бесконечно малые и ограниченные последовательности. Арифметика бес­конечно малых последовательностей.


Определение: Последовательность будем называть бесконечно малой последовательностью, если , то есть .


Теорема: бесконечно

малая последовательность.

(I)-

(II)-

(I) (II) =

(II)(I) =


Замечание: Фактически мы дали эквивалентность определений сходящейся последовательности.

Определение: Последовательность будем называть ограниченной последовательностью, если .

Замечание: Ранее мы доказали, что всякая сходящаяся, в том числе и бесконечно малая последовательность ограничена.


Арифметика бес­конечно малых последовательностей.


Теорема: сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Пусть . Возьмем произвольный.

Аналогично

.

Обозначим .

Тогда .

То есть


Теорема: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

, - ограниченная, то есть .

Возьмем произвольный.

- бесконечно малая.

.

Обозначим . Тогда

.

То есть

Замечание: сходимость ограниченной последовательности здесь не требуется.

БИЛЕТ 3. Бесконечно большие последовательности. Теорема о связи между бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.


Определение: Последовательность  называется бесконечно большой, если для любого  существует номер  такой, что для любого   выполняется неравенство: 


Формально:


Теорема: Если - б.б. и все её члены отличны от нуля то последовательность


бесконечно малая, и, обратно, если- б.м. последовательность и все её члены отличны от


нуля, то - б.б.


Док-во: Пусть - б.б. Возьмем произвольное и положим .


Согласно определению для этого существует такой номер N, что при будет . Отсюда получаем, что:




для всех . А это значит, что последовательность - б.м.





БИЛЕТ 4. Предел числовой последовательности. Теорема об арифметике пределов последовательностей (док-во для суммы и произведения).


Определение: функцию называют числовой последовательностью.

- члены числовой последовательности.

- номер члена числовой последовательности.

или ,

=, -общий член.


Определение: Число называется пределом последовательности (пишут ), если для любого положительного числа (>0) можно указать такое число , зависящее от , что для всех .


Арифметика:


Пусть , . Тогда:

1) существует

2) существует

3) если то существует .

Доказательства:

где и - бесконечно малые последовательности.

1)

бесконечно малые.

бесконечно малые.


2) =

бесконечно малая бесконечно малая

бесконечно малая

Дополнительно:

3) где

- бесконечно малая последовательность.

По условию

-ограниченная.

бесконечно малая.



БИЛЕТ 5. Единственность предела. Ограни­ченность сходящейся последовательности.

Теорема: (о единственности предела): Если -сходящаяся, то предел единственный.

Доказательство:

Пусть , , .

Для определенности имеем:

.

< <

<. <.



Противоречие.


Теорема: (об ограниченности сходящейся последовательности): Если -сходится, то она ограничена.

- сходящаяся : .

Возьмем =1 .

Обозначим , тогда

, тогда

Отсюда для обоих случаев


Замечание: обратное не верно.




БИЛЕТ 6. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами.

Теорема: (о предельном переходе в неравенство):

Пусть , . . Тогда .

Доказательство (от противного):

Пусть .

Возьмем .

Обозначим

.


- противоречие.


Замечание: Если для элементов последовательности выполняется , то отсюда не следует, что . .

=, =, .


Теорема (о промежуточной последовательности).

Пусть , и . Тогда существует .

Доказательство:

Возьмем произвольный .


. Тогда . . ().

.

Теорема: (об отделимости от нуля).

Пусть и . Тогда .

Замечание: - ограниченная.

().

. .

БИЛЕТ 7. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последо­вательности.

Определение: -монотонно возрастающая (монотонно убывающая), если (). Если неравенства строгие, то последовательности строго возрастающие (убывающие).


Теорема (о пределе монотонной последо­вательности). Пусть -монотонно возрастает и ограничена сверху. Тогда она сходится, причем .


Доказательство:

ограничена сверху =>по теореме существования точной верхней грани . Докажем, что .

: 1)

2) .

Возьмем произвольный , обозначим из 2).

1)=>

2)=> (монот. возр).

Из этого следует, что , => .

Мы доказали достаточное условие числовой сходимости последовательности (монот. и огр.)

(огр. на б.м.).




БИЛЕТ 8 Подпоследовательности. Частичные пределы. Теорема о частичных пределах сходящейся подпоследовательности.


Определение: Пусть дана некая последовательность . Из элементов этой последовательности извлечем другую последовательность , где последовательность -номера элементов исходной последовательности, причем Тогда последовательность -подпоследовательность последовательности .


Замечание: Элементы подпоследовательности выбираются в порядке их следования в исходной последовательности. .


Определение: Если , то -частичный предел последовательности .


Теорема (о частичных пределах сходящейся подпоследовательности): Пусть , тогда .


Доказательство:

Возьмем произвольный , тогда .

Возьмем произвольную . Обозначим . Тогда имеем:

. Таким образом:

.


Замечание: Понятие частичных пределов для сходящихся последовательностей не нужно.




БИЛЕТ 9. Лемма о вложенных отрезках.

Пусть =, =1,2,…, причем …, то есть ,

. Тогда , то есть .


Доказательство.

Рассмотрим , , ограничено сверху, так как любое является верхней границей множества в силу вложенности отрезков. . Тогда:

а) - верхняя граница , то есть .

б) - наименьшая из всех границ, то есть.

.


Замечание: Если в условиях леммы хотя бы один из концов исключить, то аналогичная лемма будет не верна.

.

( ] ] ] ]

0 1/3 1/2 1





БИЛЕТ 10. Теорема Больцано-Вейерштрасса.


Теорема: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.


Доказательство: (метод деления пополам).


I). Проведем построение системы отрезков.

ограниченная .

Рассмотрим точку - середину отрезка .

1) В отрезке содержится бесконечное число элементов .

Тогда , .

2) В противном случае , , -содержит бесконечное число элементов .

Рассмотрим точку - середину и так далее.

1.

2. в содержится бесконечное число элементов .

3. .


II). Выбор подпоследовательности


По лемме о вложенных отрезках:

1) произвольный элемент из

2) элемент из :

………………………………………………….

k) элемент из :


Докажем, что .


0 ().

.




БИЛЕТ 11. Критерий Коши сходимости последовательности.


Теорема (критерий Коши): Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Замечание: Условие необходимости (=>), условие достаточности (<=), критерий- условие необходимости и достаточности (<=>).


1) Необходимость: (=>).


Пусть . Возьмем произвольный Тогда .

. Обозначим, тогда

.

фундаментальна.


2) Достаточность: (<=).


1. фундаментальна => ограниченная .

Возьмем , , тогда .

Обозначим . .

ограничена.


2. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

ограниченная => - сходящаяся. Обозначим


3. Докажем, что


Возьмем произвольный . фундаментальная => .


Обозначим и выберем

  1. k>K

Тогда .

. То есть






БИЛЕТ 12. Два определения предела функции. Эквивалентность определений.


Пусть определена в некоторой выколотой окрестности т.


Определение 1 (Гейне): , если , ,

Замечание:


Определение 2 (Коши): , если .

.

Замечание: , то есть .


Теорема: Определение 1 <=> Определение 2.

Имеем . .

Возьмем произвольную = => .

Обозначим . Тогда 0<.


Т.обр.

., то есть




БИЛЕТ 13. Свойства пределов функций, связанные с неравенствами.


Теорема: Пусть и , тогда .

Теорема: (Локальн. Огр.): Пусть , тогда , :

.

.

Возьмем Тогда .

Теорема: Пусть , и . Тогда

Возьмем произвольный , , , причем .

(по теореме о предельном переходе в неравенство) .

Теорема: Пусть , и

. Тогда существует . Возьмем произв. ,

, , причем

сущ. .

Теорема (об отделимости от нуля): Пусть , : .

Доказательство:

.

Возьмем , тогда

, , .




БИЛЕТ 14. Свойства пределов функций, связанные с неравенствами. Теорема об арифметике пределов функций.

Теорема: (Локальн. Огр.): Пусть , тогда , :

.

.

Возьмем Тогда .

Теорема: Если существуют и , то:

1). .

2). = (- постоянная).

3). *.

4). , если .


Доказательства:

Доопределив по непрерывности функции и в точке , положив = и = (это изменение функций не влияет на их пределы). В точке будут непрерывны функции , , , (так как =. Поэтому в силу равенства=получим:


1). =.

2). ==

3). =*.

4). =.




БИЛЕТ 15. Разные виды пределов функции: бесконечно большие функции, пределы функции на бесконечности, односторонний предел. Теорема о связи односторонних пределов с пределом функции.


Определение 1: Функция  называется бесконечно большой в точке , если для любого  существует такое, что для любого , удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство: . В этом случае пишут: 


Определение 2: Число  называется пределом функции  на бесконечности или при , если для любого существует число  такое, что для всех  из того, что , выполняется неравенство .


Определение 3: Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Число  называется правым пределом функции  в точке , если для   такое, что для любого  и , выполняется неравенство  (рис. 1). Правый предел обозначается 

Число  называется левым пределом функции  в точке , если для   такое, что для любого  и , выполняется неравенство  (рис. 2). Левый предел обозначается 

Теорема: Чтобы функция имела предел в точке , необходимо и достаточно чтобы она имела в этой точке оба односторонних предела и чтобы они были равны.

Функция называется непрерывной в точке , если .

Если в этом определении раскрыть определение предела на языке «», то получим определение: функция называется непрерывной в точке , если .

Если же раскрыть определение предела на языке последовательностей, то приходим к определению: функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности , сходящейся к , соответственная последовательность значений функции сходится к .

Иногда удобно формулировать определение непрерывности функции на языке приращений. Разность называют приращением аргумента в точке , а разность называют приращением функции в точке .

Функция называется непрерывной в точке , если приращение функции в точке стремится к нулю при стремлении к нулю приращения аргумента, т.е. .




БИЛЕТ 16. Первый замечательный предел (с доказательством). Второй замечательный предел (без доказательства).


Первый замечательный предел:

Для доказательства возьмем вектор окружности радиуса 1 с центральным углом, равным (радиан), и проведем . Тогда пл. < пл. сект. < пл. или . Разделив все части этого неравенства на > 0, получим

или . Это неравенство, доказанное для любых из интервала (0;), верно для любого из интервала (-;) в силу четности функций, входящих в это неравенство.


Докажем, что

() при

А раз и , то .


Кроме того: =1


Второй замечательный предел:


.

На первый взгляд кажется, что при имеет пределом единицу (так как 1+при имеет пределом единицу, а единица в любой степени есть единица). Но в степень возводится 1+, а не единица. И вот из-за этой бесконечно малой добавки предел не равен единице. Чтобы приблизительно представить себе поведение функции при малых приведем таблицу значений этой функции:


1/2

1/3

1/4

0.01

0.001

2.25

2.37…

2.44…

2.7047…

2.7169…

Из этой таблицы видно, что с уменьшением функция увеличивается. Оказывается, что это имеет место для всех >0, а из этого следует, что функция имеет предел.


Случайные файлы

Файл
104263.rtf
143471.rtf
48657.rtf
СНиП II-12-77.doc
180471.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.