экзамен и дз15,18,23 вар (Экзаменационные билеты(с ответами))

Посмотреть архив целиком

Экзаменационный билет №1

  1. Сформулировать свойства определённого интеграла. Доказать свойство аддитивности определённого интеграла.

  1. Свойства линейности

а) суперпозиции ,

б) однородности

Вообще говоря, свойствами линейности обладают все линейные операции (дифференцирование, интегрирование, проектирование и т.д.)

  1. Свойство аддитивности (по множеству)

Доказательство. Пусть . Выберем разбиение так, чтобы точка с была границей элемента разбиения . Это возможно (следствие). Составим интегральную сумму . Будем измельчать разбиение, сохраняя точку с границей элемента разбиения. Это возможно (следствие). Тогда предел при левой части равенства интегральных сумм равен , первого слагаемого правой части , второго слагаемого правой части .

  1. (свойство «ориентируемости» множества).

Составляя интегральную сумму для интеграла в правой части равенства, заметим, что элемент разбиения надо проходить в другом направлении, от конца отрезка к началу. Поэтому для этого интеграла интегральная сумма будет

- . Переходя к пределу при измельчении разбиения, получим .

  1. . Это постулируется, но, вообще говоря, это и очевидно.

  2. .

.

  1. Если на отрезке , то .


Так как на отрезке, то . Переходя к пределу, получим .

  1. Если на отрезке , то .

Так как на отрезке, то . Переходя к пределу, получим .

.

  1. (переменная интегрирования – «немая» переменная, ее можно изменить, она не несет в себе самостоятельного смысла)

Определенный интеграл является функцией своих пределов, при фиксированных пределах интегрирования это – число. Он определен своими пределами. Поэтому он и называется определенным.


  1. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (случай действительных различных корней).

Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами может быть записана в виде


, где , (векторная форма записи)

или

(покоординатная форма записи).

Будем искать решение системы в виде .

Подставляя в уравнение системы, получаем

.

Получено уравнение для определения соответствующего собственному значению собственного вектора