Ответы на вопросы к экзамену по матану (Ответы на вопросы к экзамену по матану)

Посмотреть архив целиком

Билет №1.

Доказать теорему Ролля.

Пусть дана функция .

  1. Определена и непрерывна на отрезке .

  2. Дифференцируема на интервале .

  3. И на концах отрезка принимает одинаковые значения. .

Тогда найдется, по крайней мере, 1 , принадлежащая интервалу .

Доказательство: Т.к. функция непрерывна на отрезке , то согласно 2 теореме Вейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения.

, ,

, .

Случаи:

  1. , - любое из интервала

  2. в силу 3-го условия теоремы, одно из значений минимального или максимального достигается функцией во внутренней точке интервала .

Согласно второму условию теоремы Ролля, функция дифференцируема на интервале в любой точке, то по теореме Ферма существует .

Доказать теорему о предельном переходе в неравенстве.

Пусть при имеет конечный предел А1, при имеет конечный предел А2, и существует : для , тогда .

Доказательство:

,

,

Пусть

Это неравенство выполняется для любого , отсюда


Билет №2.

Доказать теорему Лагранжа.

Пусть функция