Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области (Diplur3)

Посмотреть архив целиком

Прусаков Д. В.

«Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области» 1998- 99 уч. г. 14

Введение 

1.Постановка задачи 

2. Оценочный анализ решения задачи. 

2.1. Оценка решения сверху. 

2.2. Оценка решения в виде интеграла 

2.3. Выбор интервала ( ) и оценка погрешности 

3. Формулировка результата в виде теоремы 

4. Примеры 

Заключение 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 





























Введение

В ряде случаев оказывается невозможным или неприемлемым получение аналитического решения поставленной задачи. Использование основных теорем и положений анализа позволяет получить качественную картину поведения функции решения в заданной области, оценить скорость сходимости решения. Такой подход широко реализуется в областях техники, где получение результата необходимо с заданной точностью.

1.Постановка задачи



В дипломной работе рассматривается задача:


(З)


0.

t

x


Требуется привести пример оценки решения задачи (З) в области , и исследовать полученную оценку при





2. Оценочный анализ решения задачи.


Оценка решения задачи (З) основывается на принципе максимума для уравнения теплопроводности : «Всякое решение уравнения в прямоугольнике , непрерывное вплоть до границы, принимает свои наибольшее и наименьшее значения на нижних или на боковых его границах» [2].

2.1. Оценка решения сверху.


В области t=t , x= рассмотрим решение задачи :


, V(0,x) = ( x ), x , (1)


это решение имеет вид [1]:


v (t, x) = . (2)


Зафиксируем некоторое и перейдем к исходной системе координат, тогда (2) в системе t=t, x= будет выглядеть так:

V(t, x) = (2’)

Из принципа максимума [2] заключаем, что:

U( t, x ) V( t, x ). (3)


Таким образом задача сводится к оценке интеграла (2).











2.2. Оценка решения в виде интеграла


Разобьем интервал < x на две части и , тогда интеграл (2) запишется в виде:

V( t, x ) = . (*)


Исследуем знак подинтегрального выражения, принимая во внимание, то что :


; (а)


;


;

где .


После проведенного исследования видно, что



Использовав известное разложение ,

где Z 0, , заменим экспоненты во втором интеграле рядами:


(а) ;



(б) .


В результате получим :




Здесь:


, , (4.1)


, . (4.2)


Запишем неравенство (3) в виде, принимая во внимание только одно слагаемое суммы ряда:


m=1,


U(t, x) . (5)


Выше приведенная оценка не отражает качественной картины и может быть использована при дальнейших исследованиях задач подобного вида. ( т .к .фиксированно)

Рассмотрим другую возможность оценки неравенства (3).


пусть

(т.е. финитна), в соответствии с принципом максимума:


, (3)

при

где W- решение краевой задачи (З) с начальными условиями:


Аналогично, как и выше


здесь:

Таким образом,

(используем разложение в ряд Тейлора)


В итоге,


(5.1)

Рассмотрим два случая:

а) Пусть

,

тогда в правой части неравенства (5.1) третье и четвертое (3,4) слагаемые стремятся к нулю быстрее любой степени ,

поэтому (5.1) можно переписать как:

(5.2)

б) Пусть тогда:


где

В результате получаем:

(5.3)

2.3. Выбор интервала ( ) и оценка погрешности


Зададим произвольно некоторую константу >0, потребовав чтобы в (5)

<.

при .

Неравенство (5) можно только усилить, если

< (6)



Рассмотрим общий вид :


; (7)

, (7.1)

b=x ( k=1 ) , b=2(k=2) оценка (7.1) эквивалентна системе неравенств:


,


откуда:

. (8)


Т. к. в работе исследуется поведение неравенства (3) при то принимаем что для некоторого :


. (9)
































3. Формулировка результата в виде теоремы


Обобщая результаты всей работы в целом можно сформулировать следующие теоремы:


1. Пусть для уравнения теплопроводности имеет место задача

(З)

- гладкая, непрерывно - дифференцируемая функция на ,а функция ограничена на R : .

Тогда для любого сколь малого числа можно указать число

,

такое что имеет место следующая оценка «сверху» решения задачи (З):


Раскрыв квадратные скобки, получим:


.


  1. Пусть в имеет место задача (З), - монотонная, неограниченная, возрастающая функция, тогда:

  2. если , то

2) если то


Замечанние:видно, что оценку полученную в теореме 2 можно получить и при более слабых ограничениях

4. Примеры


Пусть ,


  1. .































Заключение


В дипломной работе произведена оценка решения «сверху» для уравнения теплопроводности с движущей границей по заданному закону. Аналогично, можно получить оценку решения «снизу». Для этого нужно рассмотреть ступенчатую область, в которой для каждой ступеньки решение может быть получено согласно 2.1 (2) . Число таких ступенчатых областей необходимо выбрать таким образом, чтобы оценка полученная снизу была сравнима с полученной выше оценкой.

































СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ



  1. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики. Изд. «Наука», М. 1966 (с. 230 -233);

  2. С. К. Годунов, Уравнения математической физики. Изд. «Наука», М. 1973 . 33-34);

  3. Л. Д. Кудрявцев, Краткий курс математического анализа. Изд. «Наука», М. 1989.



























Случайные файлы

Файл
73651-1.rtf
cx_koop.doc
73256.rtf
12328-1.rtf
73455.rtf