О некоторых применениях алгебры матриц (84402)

Посмотреть архив целиком



МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова



Математический факультет


Кафедра геометрии и высшей алгебры



Лакунова Залина

Дипломная работа



«О некоторых применениях алгебры матриц»





Научный руководитель:

д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А /В.Н.Шокуев /


Рецензент:

к.ф.-м.н.,доцент /В.М.Казиев/


Допущена к защите 2002г.


Заведующий кафедрой

к.ф.-м.н.,доцент /А.Х.Журтов/





Нальчик 2002


Оглавление

стр.


Введение 3

§1. О правиле Крамера 4


§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел 9


§3. Матричный вывод формулы Кардано 17


Литература 21






















Отзыв


О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц».

Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З.


В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических уравнений малых степеней.

В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения любых квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем.

В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4); при этом основную роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь попутно доказана теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом трех положительных чисел.

В §3 дается новый вывод правила Кардано для решения кубических уравнений; его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он опирается на свойства циркулянта (третьего порядка).

Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой З. удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и могут быть допущены к защите.

Предварительная оценка – «хорошо»








д.ф.-м.н., проф.каф. Г и ВА /В.Н.Шокуев/




§1. О правиле Крамера


В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы линейных алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит в следующем.

Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система линейных уравнений с неизвестными


(1)


Определитель которой отличен от нуля:


(2)


Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения


(3)


где - матрица коэффициентов при неизвестных системы (1),


(4)


- столбец (Матрица-столбец) неизвестных


- столбец свободных членов системы (1)


Так как , то матрица невырожденная и для нее существует обратная матрица . Умножив равенство (3) на (слева), получим (единственное) решение системы в следующей матричной форме (в предположении, что она совместима и - ее решение)

,

где обратная матрица имеет вид:


(-алгебраическое дополнение элемента в определителе )

Другой известный способ можно назвать методом алгебраических дополнений. Его использование предполагает владение понятием алгебраического дополнения как и в матричном способе, теоремой о разложении определителя по столбцу (строке), теоремами о замещении и об аннулировании.

Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об определителе произведения матриц.

Суть этого метода можно понять легко, если сначала рассмотрим случай . Очевидно, что при выполняются следующие матричные равенства (если задана система (1)):





Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив определители правых частей соответственно через получим формулы Крамера:


()

(Правило Крамера)

Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка ничего по существу не меняет. Просто следует заметить, что матрица с определителем получается из единичной матрицы заменой -го столбца столбцом неизвестных:


(5)


Теперь из равенств


,


где - матрица, получающаяся заменой - го столбца матрицы столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв определители от обеих частей в каждом равенстве:


, откуда ввиду имеем