Механические колебания в дифференциальных уравнениях (referat)

Посмотреть архив целиком

Министерство образования Российской Федерации

Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова
















РЕФЕРАТ

на тему:

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ”














Выполнил: студент гр. МХТ-02

Казаков Василий Васильевич

Проверила:

Абрамова Ирина Михайловна







Магнитогорск 2003

Содержание

  1. Гармонические колебания

  2. Затухающие колебания

  3. Вынужденные колебания без учета сопротивления среды

  4. Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды









































Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические колебания.

Гармонические колебания.

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса).

Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном состоянии равна . Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.

Решение

Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины.

П

О

усть означает удлинение пружины в данный момент, а ст—статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда =ст+х, или -ст=х.

Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma, где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодей-ствующая приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины и силы тяжести.

По закону Гука сила натяжения пружины пропорциональна её удлинению: Fупр=-с, где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины.


Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то P= сст. Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим -ст через х, получится уравнение в виде:

или, обозначив с/m через k2,

(1)

Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:

имеет мнимые корни , соответственно этому общее решение

Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на , получим:

Если положить

то

(2)

График гармонических колебаний имеет вид:

Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения равновесия.

Величину А называют амплитудой колебания, а аргу­мент фазой колебания. Значение фазы при t=o т.e. величина , называется начальной фазой колебания. Величина есть частота колебания. Период коле­бания и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы системы. Так как с = Р/ст = mg/ст, то для периода можно получить также формулу:

Скорость движения груза получается дифференцирова­нием решения по t:

Для определения амплитуды и начальной фазы необхо­димо задать начальные условия. Пусть, например, в началь­ный момент t = 0 положение груза x=x0 и скорость =0. Тогда , откуда

,

Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от частоты и периода собственных коле­баний они зависят от начального состояния системы. При отсутствии начальной скорости (0=0) амплитуда А=х0, а начальная фаза =/2 и, таким образом,

или

























Затухающие колебания.

Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшают-ся. Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи, но с учетом сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости движения.

Решение

К силам, действующим на груз, прибав­ляется здесь сила сопротивления воздуха (знак минус показывает, что сила R направлена противопо­ложно скорости ). Тогда дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ox имеет вид

или если положить , , то

(3)

Это уравнение также является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициен­тами. Его характеристическое уравнение:

имеет корни

(4)

Характер движения целиком определяется этими кор­нями. Возможны три различных случая. Рассмотрим сна­чала случай, когда . Это неравенство имеет место, когда сопротивление среды невелико. Если поло­жить , то корни (4) имеют вид . Тогда общее решение можно записать в виде

или, преобразовав, умножая и деля на , получим:

положим, что