Методы обучения математике в 10 -11 класах (DIP_II_5)

Посмотреть архив целиком

РОЗДІЛ 2

Використання методів навчання при вивченні деяких змістових ліній курсу алгебри і початків аналізу. „Елементарні функції”, “Похідна та її застосування”


§1. ПОЯСНЮВАЛЬНО-ІЛЮСТРАТИВНИЙ МЕТОД

Пояснювально-ілюстративний метод можна використовувати на будь-якому уроці, а не лише при поясненні нового, складного матеріалу. Цей метод сприяє розвитку просторового уявлення і через наочність покращує розуміння матеріалу. Розглянемо застосування методу при вивченні понять “Парні та непарні функції”.

Розглянемо функції, область визначення яких симетрична відносно початку координат.

Означення. Функція називається парною, якщо для довільного з її області визначення .

Вчитель пояснює, що для довільних значень х , додатних чи від’ємних, знак самої функції не змінюється.

Означення. Функція називається непарною, якщо для довільного з її області визначення .

Тобто для довільних значень х , знак функції залежить від знаку аргументу.

Д
ля закріплення розуміння понять, на дошці малюються відповідні малюнки, чи демонструються готові намальовані на плакаті.


Мал. 1 Мал. 2



Після цього наводять приклад парних та непарних функцій.

- парні – непарні.

Дійсно, область визначення кожної з них симетрична відносно початку координат, та виконуються рівності: f(-x) = f(-x)2n = f(x)2n = f(x) – парність, та для g(-x)=g(-x)2n+1= –g(x)2n+1= –g(x) – непарність.

Графіки цих функцій варто продемонструвати на плакаті чи намалювати на дошці. Розглянемо функції у=х4 та у=х3.







Мал. 3 Мал. 4

Після побудови графіків функцій потрібно акцентувати увагу учнів на те, що вітки графіка парної функції симетричні відносно осі ординат, а вітки графіка непарної функції симетричні відносно початку координат. Це варто довести до учнів як властивості парної та непарної функції, що допоможе їм при побудові графіків.

При поясненні нового, дещо складнішого матеріалу варто користуватись наочністю, це найкраще відображає саму суть теми, всі процеси, пов’язані з утворенням певних понять. Розглянемо використання наочності та ілюстрацій при вивченні теми “Похідна та її застосування” при дослідженні функцій на екстремуми.

Учні вже вивчили і знають геометричний зміст похідної, ознаки зростання і спадання функції, тому просто варто пригадати це на початку урока.



Геометричний зміст похідної: Похідна функції f(x) в точці х0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої з додатним напрямом осі ОХ у точці з абсцисою х0.

Тому, коли f (x)0, то учням потрібно пояснити, що - тангенс кута нахилу дотичної до кривої з додатнім напрямком осі ОХ більший нуля, тобто (0; ). Продемонструємо це на малюнку (мал. 5).
З малюнку видно
, що на проміжку а; b дотична може займати положення, при якому кут (0; ) і функція на цьому проміжку зростає.









Мал. 5 Мал. 6

Якщо ж f(x)0, то tg()0, (0; –) , значить функція спадає. Показуємо це на малюнку (мал. 6).

В першому випадку функція f(x) є зростаючою на проміжку а; b, в другому - спадною. Потрібно спитати учнів, а яким же чином веде себе функція, коли f(x) при переході через деяку точку х0 змінює свій знак.

Це буває лише тоді, коли в точці х0 функція приймає своє найбільше або найменше значення. Якщо похідна змінює свій знак з “+” на “-” (спочатку функція зростала, а при переході через точку х0 почала спадати), то х0- є точкою максимуму, значення функції в цій точці є максимумом функції. Інакше, якщо при переході через точку х0 похідна змінила свій знак з “-” на “+”, то х0 - є точкою мінімума, а значення функції в цій точці – мінімумом функції. Ці точки називають екстремальними точками функції.

Внутрішні точки області визначення функції, в яких її похідна дорівнює нулю або не існує називають критичними точками цієї функції.


Формулюється необхідна умова екстремуму.

Якщо функція у внутрішній точці проміжку має екстремум, то в цій точці похідна , якщо вона існує , дорівнює нулю f /0)=0.

Доведемо методом від супротивного. Нехай в точці , яка є екстремальною для , існує похідна і . Припустимо, що , значить функція в точці зростає. Отже не є екстремальною точкою. Якщо , то функція в точці спадає. Отже прийшли до суперечності. Тобто теорему доведено.

Але з того, що похідна функції в точці рівна нулю, не обов’язково слідує , що є точкою екстремуму.

Наприклад, похідна функції рівна нулю в точці , але функція екстремуму в цій точці не має.

Внутрішня точка проміжку називається стаціонарною точкою функції